معادله موج

معادله موج ( Wave equation ) معادله ای خطی و کلاسیک از نوع معادلات دیفرانسیل هذلولوی پاره ای است. در حالت دو بعدی ( نسبت به مکان ) معادلهٔ درجهٔ دوم موج به صورت زیر نمایش داده می شود:
∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u
که در اینجا ∇ 2 = ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 عملگر لاپلاس، t زمان، u دامنهٔ موج، و c ضریبی است ثابت برابر با سرعت موج.
به عنوان تعمیمی از معادلهٔ خطی موج، می توان سرعت را تابعی از دامنه موج گرفت. در این حالت، معادلهٔ غیرخطی موج خواهیم داشت
∂ 2 u ∂ t 2 = c ( u ) 2 ∇ 2 u
( در حالت یک بعدی نسبت به مکان ) معادلهٔ درجهٔ دوم بالا را می توانیم به دو معادله درجه اول موج به صورت زیر قسمت کنیم:
u = 0
⇓
∂ u ∂ t − c ∂ u ∂ x = 0 and ∂ u ∂ t + c ∂ u ∂ x = 0
در حالت یک بعدی داریم:
∂ 2 u ∂ t 2 − c 2 ∂ 2 u ∂ x 2 = 0
برای حل مسئله ابتدا تغییر متغیر زیر را انجام می دهیم:
x + c t = ξ ، x − c t = η
به سادگی می توان نشان داد که در دستگاه مختصات جدید ξ و η معادله موج به صورت زیر در می آید:
u ξ η = ∂ 2 u ∂ ξ ∂ η = 0
که با انتگرال گیری ازآن داریم:
u = f ( ξ ) + g ( η )
که در اینجا f و g توابع دلخواه ( ولی مشتق پذیر ) هستند.
یک جواب معادله ٔ موج می تواند به این شکل باشد:
k عدد موج، ω سرعت زاویه ای، λ طول موج، ϕ فاز، T دوره تناوب و f بسامد حرکت نوسانی نام دارند.
ω = 2 π T = 2 π f , k = 2 π λ , c = λ T
جایی که ( A ( z, t پوشش دامنه ای که برای موج داریم و K تعداد موج و ϕ نمایانگر فاز موج است. سرعت فاز vp این موج توسط v p = ω k = λ f , نشان داده می شود. ( λ نمایانگر طول موج است.