معادله لاپلاس

معادلهٔ لاپلاس یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی است که از اهمّیّت و کاربرد فراوانی در ریاضیّات، فیزیک، و مهندسی برخوردار است. به عنوان چند نمونه می شود به زمینه هایی همچون الکترومغناطیس، ستاره شناسی، و دینامیک سیالات اشاره کرد که حلّ این معادله در آن ها کاربرد دارد. در سه بعد می شود آن را به صورت زیر نمایش داد:
∂ 2 φ ∂ x 2 + ∂ 2 φ ∂ y 2 + ∂ 2 φ ∂ z 2 = 0
این معادله، حالت همگن معادله پواسن است. جواب های کلی این معادله در نظریه پتانسیل بررسی می شوند و تمام آن ها توابع همساز هستند.
در فضای سه بعدی، مسئله پیدا کردن تابع حقیقی دو بار مشتق پذیر φ بر حسب متغیرهای y , x و z است بطوریکه: در مختصات دکارتی:
در مختصات استوانه ای:
در مختصات کروی:
و در مختصات خمیده خط:
یا:
این معادله غالباً به صورت زیر نوشته می شود:
یا در متون عمومی بصورت:
که در آن 2∇=Δ عملگر لاپلاس یا لاپلاسین است.
که در آن div=. ∇ دیورژانس و grad=∇ گرادیان است. جواب های معادلهٔ لاپلاس تابع هارمونیک نامیده می شود. اگر در طرف راست بجای صفر یک تابع سه متغیره ( f ( x, y، z داشته باشیم:
این معادله، معادله پواسون نامیده می شود. معادلهٔ لاپلاس و پواسون ساده ترین مثال های معادلات دیفرانسیل جزئی بیضوی اند. عملگر دیفرانسیل جزئی ∇ 2 یا Δ ( که شاید در هر بعدی تعریف شده باشد ) عملگر لاپلاس نامیده می شود.
در کل سه نوع شرایط مرزی وجود دارد. دیریکله، نویمان، کوشی.
• شرط مرزی دیریکله یعنی مقدار خود تابع روی مرز داده شده باشد. ( مثل این که مقدار پتانسیل را روی مرزها بدانیم )
• شرط مرزی نویمان یعنی مشتق عمود بر سطح تابع روی مرزها مشخص باشد . ( مثل این که نیروی الکترومغناطیسی را روی مرزها بدانیم )
• شرط مرزی کوشی به معنی مشخص بودن هم خود تابع و هم مشتق عمود برسطح آن است.
برای معادله لاپلاس شرایط دیریکله یا نویمان کافی است. یعنی با در دست داشتن یکی از شرایط هم مقدار تابع به دست می آید و هم مشتق عمود آن و شرط مرزی کوشی برای این معادله اشتباه است. جواب معادله لاپلاس در داخل مرزها تحلیلی است. اصل برهمنهی در مورد جواب های این معادله صادق است یعنی هر ترکیب خطی از جواب های معادله خود نیز جواب معادله است.
پاسخ معادله لاپلاس دو ویژگی جالب دارد:[ ۱]