مشخصه اویلر

مشخصه اویلر یا مشخصه اویلر - پوانکاره، در ریاضیات و به ویژه در توپولوژی جبری و ترکیب شناسی چندوجهیها، یک ناوردای توپولوژیکی بوده و عددی است که شکل فضای توپولوژیک را صرف نظر از چگونگی خم شدن آن توصیف می کند. این پارامتر، معمولاً با χ ( حرف یونانی خی ) نمایش داده می شود.
مشخصهٔ اویلر، در آغاز برای چندوجهی ها تعریف شده و برای اثبات قضیه های مختلفی در مورد چندوجهی ها و تقسیم بندی اجسام افلاطونی به کار رفت. لئونارد اویلر که این پارامتر به نام اوست، عمدهٔ این کارهای اولیه را انجام داد. بعدها در ریاضیات مدرن، این مفهوم در همولوژی کاربرد پیدا کرد.
مشخصه اویلر χ ابتدا برای چندوجهی ها به صورت زیر تعریف شد:[ ۱]
که V, E و F به ترتیب تعداد رأس ها، اضلاع و وجه های چندوجهی هستند. مشخصهٔ اویلر برای هر چندوجهی کوژ به صورت زیر است:
این نتیجه با عنوان فرمول چندوجهی اویلر یا قضیهٔ چندوجهی اویلر شناخته می شود. بررسی این رابطه در مورد چندوجهی های مختلف در جدول زیر نشان داده شده است:
سطح چندوجهی های غیرکوژ، می تواند مشخصه های اویلر متفاوتی داشته باشد:
مشخصه اویلر می تواند برای سطوح عمومی به آسانی و با چندضلعی کردن سطوح و استفاده از تعریف بالا محاسبه شود:
معمولاً ساخت توپ های فوتبال از طریق دوخت قطعات پنج ضلعی و شش ضلعی، با رسیدن سه قطعه به هم در هر رأس صورت می گیرد. اگر از P پنج ضلعی و H شش ضلعی استفاده شود، F = P + H وجه، V = ( 5 P + 6 H ) / ۳ رأس و E = ( 5 P + 6 H ) / ۲ ضلع وجود دارد پس مشخصه اویلر برابر با V − E + F = 5 P + 6 H 3 − 5 P + 6 H 2 + P + H = P 6 . است.
از آنجا که کره دارای مشخصه اویلر ۲ است، از این رو P = ۱۲ نتیجه می شود؛ یعنی یک توپ فوتبال که به این روش ساخته می شود، همیشه دارای ۱۲ پنج ضلعی است. در اصل، تعداد شش ضلعی ها محدود نیست. این نتیجه در مورد فولرن ها و چندوجهی های گلدبرگ قابل استفاده است. [ ۲]