مشبکه

مشبکه (ترتیب). مشبکه ( به انگلیسی: Lattice ) یا شبکه[ ۱] ساختاری مجرد است که در شاخه های نظریه ترتیب و جبر مجرد در ریاضیات مورد مطالعه قرار می گیرد. مشبکه مجموعه ای با ترتیب جزئی است که در آن هر دو عنصر دارای سوپریمم ( همچنین به آن کوچکترین کران بالایی Least Upper Bound یا مخفف آن lub یا جوین Join هم می گویند ) و اینفیمم ( همچنین به آن بزرگترین کران پایینی Greatest Lower Bound یا مخفف آن glb یا میت Meet هم می گویند ) منحصر بفردی اند. یک مثال مشبکه ها اعداد طبیعی اند که توسط رابطه مقسوم علیهی می توان رابطه ترتیب جزئی روی آن تعریف کرد، به طوری که سوپریمم منحصر به فرد آن کوچکترین مضرب مشترک یا ک. م. م. و اینفیمم منحصر به فرد آن بزرگترین مقسوم علیه مشترک یا ب. م. م. است.
مشبکه ها را نیز می توان به صورت ساختارهای جبری دید که برخی از اصول موضوعه در قالب اتحادهایی را ارضاء می کنند. از آنجا که هر دو تعریف مذکور معادل اند، نظریه مشبکه را هم می توان در نظریه ترتیب و هم در جبر جهانی پیگیری کرد. نیم - مشبکه شامل مشبکه ها نیز می شود. نیم - مشبکه ها نیز به نوبه خود شامل جبر هیتینگ و جبرهای بولی نیز می شوند. تمام این ساختارهای "شبیه مشبکه" را نیز می توان هم از جنبه نظریه ترتیبی و هم جبری توصیف کرد.
اگر ( ≥ , L ) یک مجموعه مرتب جزئی باشد و S یک زیر مجموعه دلخواهی از L باشد، آنگاه u ∈ L یک کران بالا برای S است اگر به ازای هر s ∈ S داشته باشیم: s ≤ S . یک مجموعه ممکن است چند کران بالا داشته باشد یا اصلاً کران بالا نداشته باشد. یک کران بالا u از S را هنگامی کوچکترین کران بالا یا سوپریمم می نامیم که به ازای هر کران بالای دیگری چون x داشته باشیم: u ≤ x یک مجموعه حتماً کوچکترین کران بالا ندارد ولی نمی تواند بیش از یکی داشته باشد. دوگان بحث فوق: l ∈ L یک کران پایین برای S است اگر به ازای هر s ∈ S داشته باشیم: l ≤ s . یک کران پایین l از S را هنگامی بزرگترین کران پایین یا اینفیمم می نامیم که به ازای هر کران پایین دیگری چون x داشته باشیم x ≤ 1 . یک مجموعه ممکن است چند کران پایین داشته باشد، یا اصلاً کران پایین نداشته باشد ولی می تواند حداکثر یک بزرگترین کران پایین داشته باشد.
یک مجموعه مرتب جزئی ( ≥ , L ) را یک جوین - نیم - مشبکه می نامند اگر هر زیر مجموعه دو عضوی { a , b } از L دارای جوین ( یا a ∨ b ) باشد و یک میت - نیم - مشبکه است اگر { a , b } مذکور دارای میت ( یا a ∧ b ) باشد. حال ( ≥ , L ) یک مشبکه نامیده می شود اگر هم یک جوین - نیم - مشبکه و هم یک میت - نیم - مشبکه باشد. این ها عمل های دوتایی ∨ و ∧ را تعریف می کنند. هر دو عملگر نسبت به ترتیب داده شده خاصیت یکنوایی دارند، یعنی: a 1 ≤ a 2 و b 1 ≤ b 2 نتیجه می دهد که a 1 ∨ b 1 ≤ a 2 ∨ b 2 و a 1 ∧ b 1 ≤ a 2 ∧ b 2 .