مسئلهٔ نیوتن - پیپس عنوان مسئله ای است که ساموئل پیپس، که ظاهراً شخصی قمار باز بوده است در نامه ای طولانی که به ایزاک نیوتن می نویسد از نیوتن می خواهد که برایش حل کند. [ ۱] مسئله ای که مطرح می کند این است که کدام یک از گزاره های زیر بیشترین احتمال را دارد:
• پرتاب کردن ۶ تاس عادلانه و مشاهدهٔ حداقل یک شش
• پرتاب کردن ۱۲ تاس عادلانه و مشاهدهٔ حداقل دو شش
• پرتاب کردن ۱۸ تاس عادلانه و مشاهدهٔ حداقل سه شش
پیپس در ابتدا تصور می کرد که احتمال وقوع گزارهٔ سوم از همه بیشتر است ولی نیوتن اثبات کرد که احتمال وقوع گزارهٔ اول از همه بیشتر است.
متغیر تصادفی های ۳ گزاره بالا را به ترتیب A و B و C نام گذاری می کنیم. حال برای بدست آوردن احتمال های خواسته شده می توانیم از دو روش استفاده کنیم.
روش اول:
کد R، نمودار ( P ( N بر حسب n با استفاده از کتابخانهٔ ggplot2 :
library ( ggplot2 ) xVec < - c ( 1:5000 ) y < - sapply ( xVec , function ( x ) pbinom ( x - 1 , 6*x , p = 1/6 , lower. tail = F ) ) x data < - data. frame ( x = xVec , y = y ) ggplot ( ) + geom_point ( data = data , aes ( x = x , y = y ) , color = 'blue' ) + geom_hline ( yintercept = 0. 5 , color = 'red' ) + xlab ( 'n' ) + ylab ( 'P ( N ) ' ) نمودار حاصل :
نیوتن بعد از آن که مسئله را به درستی برای پیپس حل کرد برای آن که به پیپس شهود دهد که چرا احتمال وقوع A از B و C بیشتر است، به او گفت که تاس های B و C را به دسته های ۶ تایی تقسیم کند حال A وقتی رخ می دهد که یک تاس در بین ۶ تاس شش بیاید در حالی که برای B و C در هر کدام از دسته های ۶ تایی شان باید این اتفاق بیفتد. اما خودش هم می دانست که این صحبت دقیق نیست زیرا که ممکن است در یک دسته دو عدد ۶ بیاید و به همین دلیل مسئله را حل نمی کند.
بعد از فکر کردن بر روی این مسئله مسئله ای که به ذهن می رسد این است که اگر n عدد تاس نه لزوماً عادلانه داشته باشیم که احتمال آمدن ۶ برای آن ها p باشد و هر کدام از تاس ها نتیجه ش از بقیه مستقل باشد باز هم حرف هایی که زدیم درست است یا نه.
تعریف می کنیم : P ( r ≥ k ; n , p ) احتمال آن که حداقل k بار ۶ آمده باشد. حال اگر ν 1 , ν 2 دو عدد طبیعی باشند که ν 1 ≤ ν 2 آیا P ( r ≥ ν 1 k ; ν 1 n , p ) بزرگ تر مساوی از P ( r ≥ ν 2 k ; ν 2 n , p ) برای تمام n و k و p هست؟ ( به وضوح سؤالی که در ابتدا مطرح کردیم حالت خاصی از این سؤال است )
این نوشته برگرفته از سایت ویکی پدیا می باشد، اگر نادرست یا توهین آمیز است، لطفا گزارش دهید: گزارش تخلف• پرتاب کردن ۶ تاس عادلانه و مشاهدهٔ حداقل یک شش
• پرتاب کردن ۱۲ تاس عادلانه و مشاهدهٔ حداقل دو شش
• پرتاب کردن ۱۸ تاس عادلانه و مشاهدهٔ حداقل سه شش
پیپس در ابتدا تصور می کرد که احتمال وقوع گزارهٔ سوم از همه بیشتر است ولی نیوتن اثبات کرد که احتمال وقوع گزارهٔ اول از همه بیشتر است.
متغیر تصادفی های ۳ گزاره بالا را به ترتیب A و B و C نام گذاری می کنیم. حال برای بدست آوردن احتمال های خواسته شده می توانیم از دو روش استفاده کنیم.
روش اول:
کد R، نمودار ( P ( N بر حسب n با استفاده از کتابخانهٔ ggplot2 :
library ( ggplot2 ) xVec < - c ( 1:5000 ) y < - sapply ( xVec , function ( x ) pbinom ( x - 1 , 6*x , p = 1/6 , lower. tail = F ) ) x data < - data. frame ( x = xVec , y = y ) ggplot ( ) + geom_point ( data = data , aes ( x = x , y = y ) , color = 'blue' ) + geom_hline ( yintercept = 0. 5 , color = 'red' ) + xlab ( 'n' ) + ylab ( 'P ( N ) ' ) نمودار حاصل :
نیوتن بعد از آن که مسئله را به درستی برای پیپس حل کرد برای آن که به پیپس شهود دهد که چرا احتمال وقوع A از B و C بیشتر است، به او گفت که تاس های B و C را به دسته های ۶ تایی تقسیم کند حال A وقتی رخ می دهد که یک تاس در بین ۶ تاس شش بیاید در حالی که برای B و C در هر کدام از دسته های ۶ تایی شان باید این اتفاق بیفتد. اما خودش هم می دانست که این صحبت دقیق نیست زیرا که ممکن است در یک دسته دو عدد ۶ بیاید و به همین دلیل مسئله را حل نمی کند.
بعد از فکر کردن بر روی این مسئله مسئله ای که به ذهن می رسد این است که اگر n عدد تاس نه لزوماً عادلانه داشته باشیم که احتمال آمدن ۶ برای آن ها p باشد و هر کدام از تاس ها نتیجه ش از بقیه مستقل باشد باز هم حرف هایی که زدیم درست است یا نه.
تعریف می کنیم : P ( r ≥ k ; n , p ) احتمال آن که حداقل k بار ۶ آمده باشد. حال اگر ν 1 , ν 2 دو عدد طبیعی باشند که ν 1 ≤ ν 2 آیا P ( r ≥ ν 1 k ; ν 1 n , p ) بزرگ تر مساوی از P ( r ≥ ν 2 k ; ν 2 n , p ) برای تمام n و k و p هست؟ ( به وضوح سؤالی که در ابتدا مطرح کردیم حالت خاصی از این سؤال است )
wiki: مسئله نیوتون پیپس