مسئله دو جسم

مسئله دو جسم یا مسئله دو جرم ( به انگلیسی: Two - Body Problem ) در مکانیک کلاسیک، در مورد تعیین حرکت دو جسم ذره نقطه ای ( ایده آل ) است که تنها با یکدیگر تعامل و فعل وانفعال دارند. مثال های متداول، شامل حرکت یک ماهواره به دور یک سیاره، حرکت یک سیاره به دور یک ستاره، حرکت دو ستاره به دور یکدیگر ( ستاره دوتایی ) و بررسی کلاسیک حرکت الکترون به دور هسته اتم است.
کاربرد اصلی مسئله دو جسم کلاسیک، مورد گرانشی آن است که در اخترشناسی برای پیش بینی مدارها یا گریز از مدار اشیائی مانند ماهواره ها، سیاره ها و ستارگان به وجود می آید. مدل سازی مسئله دو جسم می تواند در بیشتر چنین مواردی زمینه را برای رعایت پیش بینی های مفید فراهم سازد.
مسئلهٔ دو جسم می تواند با فرمول بندی مجدد، به دو مسئله تک جسم مستقل تبدیل شده و حل شود. برخلاف این موضوع، مسئله سه جسم ( و در حالت کلی تر، مسئله n جسم برای n ≥ ۳ ) جز در موارد استثنای محدود، قابل تفکیک و حل صریح نیست.
اگر x 1 و x 2 مکان دو جسم و m 1 و m 2 جرم آنها باشد، هدف مسئله دو جسم تعیین مسیر x 1 ( t ) و x 2 ( t ) با داشتن مکان اولیه x 1 ( t = 0 ) و x 2 ( t = 0 ) و سرعت اولیه v 1 ( t = 0 ) و v 2 ( t = 0 ) است.
با اعمال قانون دوم نیوتن برای این دو جسم، روابط زیر بدست می آید:
که F 12 نیروی واردشده از طرف جسم ۲ به جسم ۱ و F 21 نیروی واردشده از طرف جسم ۱ به جسم ۲ است. اضافه کردن و کم کردن این دو رابطه از یکدیگر، مسئله را به دو مسئلهٔ تک جسم تبدیل می کند. اضافه کردن این دو رابطه، منجر به رابطه ای می شود که حرکت مرکز جرم ( مرکز سنگینی سراسری ) را تعیین می کند. در مقابل، کم کردن رابطهٔ ( ۲ ) از رابطهٔ ( ۱ ) ، منجر به رابطه ای می شود که نشان می دهد بردار r = x 1 − x 2 بین دو جسم، چگونه با زمان تغییر می کند.
اضافه کردن دو رابطه ( ۱ ) و ( ۲ ) و استفاده از قانون سوم نیوتن ( F 12 = − F 21 ) نتیجه می دهد:
که R بردار مکان مرکز جرم سامانه دو جرم بوده و از رابطهٔ زیر بدست می آید:
بنابراین رابطهٔ زیر بدست می آید:
که نشان می دهد که سرعت مرکز جرم ( و در نتیجه تکانه کل ) ثابت می ماند ( قانون پایستگی تکانه ) . بنابراین با داشتن مکان ها و سرعت های اولیه، مکان مرکز جرم ( R ( t ) ) را می توان در هر لحظه تعیین کرد.
با تقسیم هر رابطه بر جرم متناظر و کم کردن رابطهٔ دوم از اول، رابطهٔ زیر بدست می آید: