قضیه کوچک فرما

قضیۀ کوچک فرما که برای تمایز آن با قضیۀ آخر فرما به این نام موسوم است، بیان می کند اگر یک عدد اول p و a عددی صحیح باشد که p ∤ a ، در این صورت a p − 1 ≡ p 1 .
این قضیه، اساسی برای آزمون اول بودن فرما است. از این قضیه می توان دریافت که مرتبۀ هر عدد متباین با p به هنگ p برابراست با یک. بیانی دیگر از قضیۀ کوچک فرما نیز وجود دارد که بیان می کند که اگر p عددی اول و a عددی صحیح باشد، آنگاه a p ≡ p a .
پیر دو فرما، اولین بار این قضیه را در ۱۸ اکتبر سال ۱۶۴۰ با دوست و محرم اسرار خود فرانکل بسی ( Frénicle de Bessy ) مطرح ساخت و بیان کرد:
«وقتی که p عدد اول است و a نسبت به p متباین است، a p − 1 − 1 بر p بخشپذیر است. »
طبق معمول، فرما این ادعا را اثبات نکرد و تنها بیان کرد که این گزاره درست است. نخست لئونارد اویلر در سال ۱۷۳۶ اثباتی برای این قضیه را در مقاله ای با عنوان "Theorematum Quorundam ad Numeros Primos Spectantium Demonstratio"، منتشر ساخت. اما مشخص شد که لایب نیتز، اثباتی مشابه را در یک دست نوشتۀ منتشر نشده از قبل در حدود سال ۱۶۸۳ انجام داده است.
اصطلاح قضیۀ کوچک فرما ( Fermat's little theorem ) اولین بار در سال ۱۹۱۳ توسط کورت هنسل ( Kurt Hensel ) استفاده شد. او بیان کرد:
«یک قضیۀ اساسی وجود دارد که در هر گروه متناهی برقرار است که معمولاً قضیۀ کوچک فرما گفته می شود. چرا که فرما اولین فردی بوده است که بخش خاصی از آن را اثبات کرده است. »
این عبارت اولین بار در انگلیس در مقاله اروین کاپلانسکی با عنوان «تست لوکاس برای اعداد مرسن» بیان شد.
همچنین ریاضی دانان چینی نیز به طور مستقل فرضیه هایی شبیه قضیۀ کوچک فرما را بیان کرده اند که معمولاً تحت عنوان فرضیه های چینی شناخته می شوند.
این فرضیه بیان می کند p اول است، اگر و فقط اگر 2 p ≡ 2 ( mod p ) .
وضوحاً اگر p اول باشد 2 p ≡ 2 ( mod p ) که این حالتی خاص از قضیۀ فرما است. اما عکس مطلب یعنی اینکه «اگر 2 p ≡ 2 ( mod p ) آنگاه p اول است» نادرست است و لذا کل مطلب نادرست است.
این مطلب حدود ۲۰۰۰ سال قبل از آنکه فرما قضیۀ خود را مطرح کند بیان شده است.
همانطور که گفته شد فرما در ابتدا قضیه را بدون اثبات ذکر کرده است و اولین اثبات قضیه را گوتفرید لایبنیتس در یک دست نویس بدون تاریخ ارائه داده است. او نوشته است که اثبات قضیه را قبل از سال ۱۶۸۳ می دانسته است.