چند ضلعی ای را بر روی نقاط صفحهٔ نقطه گذاری شده با فاصلهٔ مساوی می سازیم. یا به عبارت دیگر مختصات رئوس چند ضلعی عددی صحیح است. قضیهٔ پیک فرمولی است که با آن می توان مساحت چنین چند ضلعی ای را محاسبه کرد. این فرمول کار محاسبه را راحت می کند زیرا مساحت را بر اساس تعداد نقاط داخلی و تقاط روی محیط چند ضلعی می دهد.
برای محاسبهٔ مساحت یک چند ضلعی به مساحت A و نقاط داخلی i و نقاط مرزی b ( نقاط روی اضلاع یا رئوس ) فرمول زیر را داریم:[ ۱]
در مثال نشان داده شده هفت نقطه داخل چند ضلعی و هشت نقطه روی محیط آن قرار دارند ( i = ۷ و b = ۸ ) پس:
A = 7 + ۸ − ۱ = ۷ + ۴ − ۱ = ۱۰
پس مساحت ۱۰ واحد مربع است.
قضیهٔ پیک تنها برای چندضلعی های ساده صادق است و برای چند ضلعی هایی که خود را قطع می کنند یا دارای حفره می باشند باید آن ها را به چند ضلعی های ساده تبدیل کرد و بعد مساحت را حساب کرد زیرا این فرمول مستقیماً روی چند ضلعی های غیر ساده درست عمل نمی کند. [ ۲] [ ۳]
این فرمول اولین بار توسط گئورگ الکساندر پیک بیان شد. او در سال ۱۸۹۹ این فرمول را بیان کرد. [ ۴] با کمک چهار وجهی ریو نشان داده اند که قضیهٔ پیک هیچ مشابهی در فضای سه بعدی ندارد. ( فرمولی که با دانستن نقاط داخلی چند وجهی و نقاط روی سطح آن بتوان حجم آن چند وجهی را حساب کرد )
با این وجود Ehrhart polynomials تعمیمی از قضیهٔ پیک است که به فضاهایی با بعد بیشتر مربوط می شود.
قضیه را با استفاده از استقرا اثبات می کنیم. چند ضلعی P و مثلث T را در نظر بگیرید به طوریکه P و Tیک ضلع مشترک داشته باشند؛ و قضیه برای هر دو به تنهایی درست باشد.
می خواهیم نشان دهیم قضیه برای چندضلعی ( که با اضافه کردن T به P به وجود می آید ) نیز درست است.
از آنجایی که P و T یک ضلع مشترک دارند پس نقاط داخلی برابر می شود با نقاط داخلی P و T به اضافهٔ نقاط روی ضلع مشترک منهای دو ( که آن دو نقطه نقاط ایتدا و انتهای ضلع مشترک هستند که روی مرز PT قرار می گیرند ) پس:[ ۵]
و همین طور:
با ساده کردن عبارات بالا به نتایج زیر می رسیم:
و
از آنجایی که ما فرض کرده بودیم قضیه برای مثلث T و چند ضلعی P درست است پس:
و نتیجه می گیریم قضیه برای PT نیز برقرار است پس به حکم کلی زیر می رسیم:
اگر قضیه برای چندضلعی ساخته شده با n مثلث درست باشد برای چند ضلعی ساخته شده با n + 1 مثلث نیز درست است؛ و واضح است که هر چند ضلعی را می توان به چند مثلث افراز کرد. برای اتمام اثبات استقرایی باید نشان دهیم که قضیه روی هر مثلثی نیز صادق است. این قسمت از اثبات را نیز با مراحل زیر انجام می دهیم.
این نوشته برگرفته از سایت ویکی پدیا می باشد، اگر نادرست یا توهین آمیز است، لطفا گزارش دهید: گزارش تخلفبرای محاسبهٔ مساحت یک چند ضلعی به مساحت A و نقاط داخلی i و نقاط مرزی b ( نقاط روی اضلاع یا رئوس ) فرمول زیر را داریم:[ ۱]
در مثال نشان داده شده هفت نقطه داخل چند ضلعی و هشت نقطه روی محیط آن قرار دارند ( i = ۷ و b = ۸ ) پس:
A = 7 + ۸ − ۱ = ۷ + ۴ − ۱ = ۱۰
پس مساحت ۱۰ واحد مربع است.
قضیهٔ پیک تنها برای چندضلعی های ساده صادق است و برای چند ضلعی هایی که خود را قطع می کنند یا دارای حفره می باشند باید آن ها را به چند ضلعی های ساده تبدیل کرد و بعد مساحت را حساب کرد زیرا این فرمول مستقیماً روی چند ضلعی های غیر ساده درست عمل نمی کند. [ ۲] [ ۳]
این فرمول اولین بار توسط گئورگ الکساندر پیک بیان شد. او در سال ۱۸۹۹ این فرمول را بیان کرد. [ ۴] با کمک چهار وجهی ریو نشان داده اند که قضیهٔ پیک هیچ مشابهی در فضای سه بعدی ندارد. ( فرمولی که با دانستن نقاط داخلی چند وجهی و نقاط روی سطح آن بتوان حجم آن چند وجهی را حساب کرد )
با این وجود Ehrhart polynomials تعمیمی از قضیهٔ پیک است که به فضاهایی با بعد بیشتر مربوط می شود.
قضیه را با استفاده از استقرا اثبات می کنیم. چند ضلعی P و مثلث T را در نظر بگیرید به طوریکه P و Tیک ضلع مشترک داشته باشند؛ و قضیه برای هر دو به تنهایی درست باشد.
می خواهیم نشان دهیم قضیه برای چندضلعی ( که با اضافه کردن T به P به وجود می آید ) نیز درست است.
از آنجایی که P و T یک ضلع مشترک دارند پس نقاط داخلی برابر می شود با نقاط داخلی P و T به اضافهٔ نقاط روی ضلع مشترک منهای دو ( که آن دو نقطه نقاط ایتدا و انتهای ضلع مشترک هستند که روی مرز PT قرار می گیرند ) پس:[ ۵]
و همین طور:
با ساده کردن عبارات بالا به نتایج زیر می رسیم:
و
از آنجایی که ما فرض کرده بودیم قضیه برای مثلث T و چند ضلعی P درست است پس:
و نتیجه می گیریم قضیه برای PT نیز برقرار است پس به حکم کلی زیر می رسیم:
اگر قضیه برای چندضلعی ساخته شده با n مثلث درست باشد برای چند ضلعی ساخته شده با n + 1 مثلث نیز درست است؛ و واضح است که هر چند ضلعی را می توان به چند مثلث افراز کرد. برای اتمام اثبات استقرایی باید نشان دهیم که قضیه روی هر مثلثی نیز صادق است. این قسمت از اثبات را نیز با مراحل زیر انجام می دهیم.
wiki: قضیه پیک