قضیه مانده

قضیه مانده در آنالیز مختلط، ابزاری قدرتمند برای محاسبه انتگرالهای خطی از توابع مرومورفیک روی منحنی های بسته است و برخی مواقع می تواند برای محاسبه انتگرال های حقیقی نیز به کار رود. این قضیه قضیه انتگرال کوشی و فرمول انتگرال کوشی را کلیت می بخشد. فرض کنید U یک زیرمجموعه باز همبند ساده از صفحه مختلط C و a1، . . . ، an نقاطی از U و f تابعی تعریف شده و هولومورفیک روی U \ {a1, . . . , an} باشد. اگر γ یک منحنی تصحیح پذیر در U باشد که هیچ کدام از نقاط ak را ملاقات نکند و نقاط انتها و ابتدایش یکی باشد، آنگاه
اگر γ یک خم ژوردان و I ( γ، ak ) = 1 و بنابراین
اینجا Res ( f، ak ) مانده ی f در ak را نشان می دهد و I ( γ، ak ) = 1 عدد پیچش منحنی γ دور نقطه ak است. این عدد پیچش یک عدد صحیح است که نشان می دهد منحنی γ چندبار حول ak می پیچد. این عدد مثبت است اگر که γ در جهت پادساعتگرد حول ak بچرخد و 0 است اگر γ اصلاً دور ak حرکت نکند. به منظور محاسبه انتگرال های حقیقی، قضیه مانده به این صورت استفاده می شود: انتگرال به صفحه مختلط گسترش داده می شود و مانده ها محاسبه می شوند ( که معمولاً ساده است ) ، و یک قسمت از محور حقیقی به یک منحنی بسته با الحاق یک نیم دایره به نیم صفه بالایی یا پایینی گسترش داده می شود. سپس انتگرال حول این منحنی با استفاده از قضیه مانده می تواند محاسبه شود. اغلب، قسمت نیم دایرهٔ انتگرال به سمت 0 میل خواهد کرد اگر به اندازه کافی بزرگ باشد و فقط قسمت محور حقیقی باقی می ماند، چیزی که در ابتدا می خواستیم.
• مانده ( آنالیز مختلط )
• فرمول انتگرال کوشی
• قضیه انتگرال کوشی
• روشهای انتگرال گیری منحنی الخط