قضیه بیز ( به انگلیسی: Bayes' theorem ) روشی برای دسته بندی پدیده ها، بر پایه احتمال وقوع یا عدم وقوع یک پدیده است و در نظریهٔ احتمالات با اهمیت و پرکاربرد است. اگر برای فضای نمونه ای مفروضی بتوانیم چنان افرازی انتخاب کنیم که با دانستن اینکه کدامیک از پیشامدهای افراز شده رخ داده است، بخش مهمی از عدم قطعیت تقلیل می یابد.
این قضیه از آن جهت مفید است که می توان از طریق آن، احتمال یک پیشامد را با مشروط کردن نسبت به وقوع یا عدم وقوع یک پیشامد دیگر محاسبه کرد. در بسیاری از حالت ها، محاسبهٔ احتمال یک پیشامد به صورت مستقیم کاری دشوار است. با استفاده از این قضیه و مشروط کردن پیشامد مورد نظر نسبت به پیشامد دیگر، می توان احتمال مورد نظر را محاسبه کرد.
این رابطه به خاطر بزرگداشت توماس بیز فیلسوف انگلیسی به نام فرمول بیز معروف است.
فرض می کنیم B 1 , . . . , B k یک افراز برای فضای نمونه ای S تشکیل دهند. طوری که به ازای هر j = 1 , . . . , k ، داشته باشیم P ( B j ) > 0 و فرض کنید A پیشامدی با فرض P ( A ) > 0 باشد، در اینصورت به ازای i = 1 , . . . , k ، داریم:
P ( B i | A ) = P ( B i ) P ( A | B i ) ∑ j = 1 k P ( B j ) P ( A | B j )
طبق تعریف احتمال شرطی داریم P ( B i | A ) = P ( B i ∩ A ) P ( A ) . صورت کسر قضیه طبق دستور حاصلضرب در احتمال شرطی، برابر با P ( B i | A ) و مخرج کسر بنابر قضیه قانون احتمال کل، برابر P ( A ) است.
اگر A و B دو پیشامد مفروض باشند، می توان پیشامد A را به صورت زیر در نظر بگیریم:
A = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ B ′ )
زیرا نقطه ای که در A باشد باید یا در هر دوی A و B باشد یا این که در A باشد و در B وجود نداشته باشد. از طرفی می دانیم A ∩ B و A ∩ B ′ ناسازگار هستند، پس می توان نوشت:
P ( A ) = P ( A B ) + P ( A B ′ ) = P ( A | B ) P ( B ) + P ( A | B ′ ) P ( B ′ ) = P ( A | B ) P ( B ) + P ( A | B ′ ) ( 1 − P ( B ) )
این رابطه بیان می دارد که احتمال به وقوع پیوستن پیشامد A یک میانگین وزنی از احتمال شرطی ( A | B ) و احتمال شرطی ( A | B ′ ) می باشد. وزن داده شده به هر احتمال شرطی به اندازهٔ احتمالی است که A نسبت به آن مشروط شده است. رابطه بالا را می توان به صورت زیر تعمیم داد. فرض کنید پیشامدهای B 1 ، B 2 ، … و B n پیشامدهای دو به دو ناسازگار باشند از طرفی رابطهٔ زیر نیز بین این پیشامدها برقرار است:
این نوشته برگرفته از سایت ویکی پدیا می باشد، اگر نادرست یا توهین آمیز است، لطفا گزارش دهید: گزارش تخلفاین قضیه از آن جهت مفید است که می توان از طریق آن، احتمال یک پیشامد را با مشروط کردن نسبت به وقوع یا عدم وقوع یک پیشامد دیگر محاسبه کرد. در بسیاری از حالت ها، محاسبهٔ احتمال یک پیشامد به صورت مستقیم کاری دشوار است. با استفاده از این قضیه و مشروط کردن پیشامد مورد نظر نسبت به پیشامد دیگر، می توان احتمال مورد نظر را محاسبه کرد.
این رابطه به خاطر بزرگداشت توماس بیز فیلسوف انگلیسی به نام فرمول بیز معروف است.
فرض می کنیم B 1 , . . . , B k یک افراز برای فضای نمونه ای S تشکیل دهند. طوری که به ازای هر j = 1 , . . . , k ، داشته باشیم P ( B j ) > 0 و فرض کنید A پیشامدی با فرض P ( A ) > 0 باشد، در اینصورت به ازای i = 1 , . . . , k ، داریم:
P ( B i | A ) = P ( B i ) P ( A | B i ) ∑ j = 1 k P ( B j ) P ( A | B j )
طبق تعریف احتمال شرطی داریم P ( B i | A ) = P ( B i ∩ A ) P ( A ) . صورت کسر قضیه طبق دستور حاصلضرب در احتمال شرطی، برابر با P ( B i | A ) و مخرج کسر بنابر قضیه قانون احتمال کل، برابر P ( A ) است.
اگر A و B دو پیشامد مفروض باشند، می توان پیشامد A را به صورت زیر در نظر بگیریم:
A = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ B ′ )
زیرا نقطه ای که در A باشد باید یا در هر دوی A و B باشد یا این که در A باشد و در B وجود نداشته باشد. از طرفی می دانیم A ∩ B و A ∩ B ′ ناسازگار هستند، پس می توان نوشت:
P ( A ) = P ( A B ) + P ( A B ′ ) = P ( A | B ) P ( B ) + P ( A | B ′ ) P ( B ′ ) = P ( A | B ) P ( B ) + P ( A | B ′ ) ( 1 − P ( B ) )
این رابطه بیان می دارد که احتمال به وقوع پیوستن پیشامد A یک میانگین وزنی از احتمال شرطی ( A | B ) و احتمال شرطی ( A | B ′ ) می باشد. وزن داده شده به هر احتمال شرطی به اندازهٔ احتمالی است که A نسبت به آن مشروط شده است. رابطه بالا را می توان به صورت زیر تعمیم داد. فرض کنید پیشامدهای B 1 ، B 2 ، … و B n پیشامدهای دو به دو ناسازگار باشند از طرفی رابطهٔ زیر نیز بین این پیشامدها برقرار است:
wiki: قضیه بیز