قانون تقابل مربعی

قانون تقابل مربعی ( به انگلیسی: Quadratic reciprocity ) ، قضیه ای است قدرتمند در شاخه نظریه اعداد از ریاضیات. با وجود آنکه قوانینی مشابه برای درجه سوم و بالاتر ثابت شده است، اما همچنان این قضیه، بسیار پرکاربرد و قدرتمند ظاهر می شود و استفاده از آن متوقف نگشته است. برای بیان این قضیه ابتدا دو تعریف ارائه می دهیم.
p عددی اول و فرد و a عددی صحیح و نسبت به p اول است. اگر معادله همنهشتی x 2 ≡ a ( mod p )   جواب داشته باشد، آنگاه عدد a را به پیمانه p مانده و در غیر این صورت نامانده می گوییم.
• 3 {\displaystyle \; 3} به پیمانه 13 {\displaystyle \; 13} مانده است زیرا 4 2 ≡ 3 ( mod 13 )   {\displaystyle 4^{2}\equiv 3{\pmod {13}}{\mbox{ }}}
• همه اعداد مربع کامل به پیمانه هر عددی مانده اند.
• مانده های به پیمانه عدد اول p {\displaystyle \; p} دقیقاً اعداد زیر اند
1 2 , 2 2 , 3 2 , ⋯ , ( p − 1 2 ) 2
• برای هر p {\displaystyle \; p} اول، دقیقاً p − 1 2 {\displaystyle {\frac {p - 1}{2}}} مانده متمایز به هنگ p {\displaystyle \; p} و به همین تعداد نامانده وجود دارد.
اگر p عددی اول و فرد و a عددی صحیح باشند که ( a , p ) = 1 تابع لژاندر با نماد ( a p ) برابر است با 1 اگر a در مبنای p مانده باشد و در غیر این صورت برابر است با − 1 . به عبارت دیگر: ( a p ) = { + 1 if  x 2 ≡ a ( mod p )   has a root − 1 if  x 2 ≡ a ( mod p )   has no root
در همان مثال قبل می توان نوشت ( 3 13 ) = 1
اگر p عددی اول و فرد و a عددی صحیح و نسبت به آن اول باشد، آنگاه داریم ( a p ) ≡ a p − 1 2 ( mod p )
طبق قضیه کوچک فرما می دانیم برای هر x داریم x p − 1 ≡ 1 ( mod p ) . پس 0 ≡ a p − 1 − 1 = ( a p − 1 2 + 1 ) ( a p − 1 2 − 1 ) ⇒ a p − 1 2 − 1 ≡ 0   or  a p − 1 2 + 1 ≡ 0 ( mod p )
اگر a مانده باشد، برای یک x ایی داریم a ≡ x 2 ( mod p ) و این نتیجه می دهد a p − 1 2 ≡ x p − 1 ≡ 1 ( mod p )
حال فرض کنید g ریشه اولیه p باشد، پس i ای هست که داشته باشیم a ≡ g i ( mod p ) . پس a p − 1 2 ≡ g i × ( p − 1 ) 2 . اگر a نامانده باشد، آنگاه حتماً i فرد است و در نتیجه i × ( p − 1 ) 2 بر p − 1 بخش پذیر نیست و این به دلیل ریشه اول بودن g نتیجه می دهد g i × ( p − 1 ) 2 ≢ 1 ( mod p ) یعنی a p − 1 2 ≡ − 1 ( mod p )