فیلتر ذره ای

فیلتر ذره ای یک برآوردگر بهینه می باشد که در دسته برآوردگرهای بیزی می گنجد. اساس این روش برپایه به کارگیری از ذراتی است که در طی روندی الگوریتمی، برآوردی از توزیع پسین بدست داده، به کمک این برآورد می توان دست به تخمین پارامتر موردنظر زد. از آنجا که برآورد براساس توزیع پسین انجام می گیرد، فیلتر ذره ای از روش های بیزی شمرده می شود.
فرض کنید یک آزمایش تصادفی را به صورت مستقل از هم N بار انجام دهیم و پیشامد S را در طول این آزمایش مدنظر قرار دهیم. پس در این آزمایش تعداد دفعاتی که پیشامد S رخ می دهد را شمرده و با N s نشان می دهیم. در نتیجه احتمال رخداد پیشامد S به صورت زیر بدست خواهد آمد.
P r ( S ) = lim N → ∞ N s N
این رابطه بیان می کند که چنانچه آزمایش را با تعداد دفعات نامحدود و به صورت کاملاً مستقل از هم انجام دهیم، آنگاه می توان احتمال رخداد پیشامدی مانند S را با شمردن تعداد رویداد آن پیشامد و تقسیم کردن بر تعداد دفعات کل بدست آورد. اما در جهان واقع به دلیل اینکه تعداد دفعات آزمایش محدود است و وابستگی هایی بین آزمایش ها وجود دارد می توان احتمال رخداد پیشامد S را به صورت زیر تقریب زد.
P r ^ ( S ) = N s N
به این تقریب، تقریب مونت کارلو ( Monte - Carlo ) گفته می شود[ ۱] . اینک با توجه به اینکه تعداد رویدادهای پیشامد مورد نظر برای N های محدود یک متغیر تصادفی است، تقریب احتمال رخداد پیشامد S ( رابطه بالا ) نیز یک متغیر تصادفی خواهد بود. اما برای آنکه برآورد به روش مونت کارلو کیفیت مناسبی داشته باشد باید دارای ویژگی های زیر باشد:
ویژگی اول: برآورد برپایه مونت کارلو باید نااریب باشد، یعنی اگر با انجام آزمایش های متعدد مقدارهای برآورد متفاوتی بدست آوردیم باید میانگین این مقادیر دقیقاً برابر با مقدار مورد برآورد باشد؛ یعنی اگر به دفعات با به کارگیری از روش مونت کارلو، احتمال رخداد پیشامد S را برآورد کردیم و مجموعه ای از برآوردها ( تخمین ها ) بدست آوردیم، میانگین این برآوردها باید برابر با مقدار واقعی احتمال رخداد باشد.
ویژگی دوم: برآورد برپایه مونت کارلو باید سازگار ( Consistent ) باشد، یعنی واریانس مقادیر مختلف از مجموعه برآوردها بر پایه روش مونت کارلو با افزایش تعداد دفعات آزمایش به سمت صفر بگراید.
در نتیجه خطای برآورد نااریب و سازگار دارای میانگین آماری صفر بوده و واریانس آن با افزایش تعداد تکرر آزمایش به سمت صفر می گراید. به عنوان یک مثال کاربردی از روش برآورد مونت کارلو می توان به برآورد مساحت اشاره کرد. فرض کنید برآورد مساحت یک ناحیه برای ما مطلوب است و این ناحیه مورد برآورد در یک ناحیه مشخص دیگری پَروسته ( محصور ) شده باشد که مساحت آن دانسته است؛ بنابراین بر طبق روش مونت کارلو یک آزمایش تصادفی که جزئیات آن بیان می شود را انجام می دهیم؛ ریختن ذره هایی به صورت کاملاً مستقل و تصادفی همگی در درون ناحیه ای که مساحت آن را می دانیم؛ بنابراین آزمایش انجام شد. اینک پیشامد برآورد شده S را به صورت تعداد ذره های که در درون ناحیه ای که می خواستیم تخمین بزنیم می افتند تعریف می کنیم. اکنون تعداد ذره هایی را که در درون ناحیه با مساحت نامعلوم می افتد با N s و تعداد ذره هایی را که در درون ناحیه با مساحت معلوم می افتد با N نشان می دهیم. شکل زیر یک مثال از ناحیه ای که مساحتش را می خواهیم برآورد کنیم و ناحیه با مساحت معلوم را نشان می دهد.