فضای هیلبرت ( به انگلیسی: Hilbert Space ) ، که به افتخار داویت هیلبرت نام گذاری شده، مفهوم فضای اقلیدسی را تعمیم می دهد. این فضا، روش های جبر برداری و حسابان را از صفحه اقلیدسی دو بعدی و فضای اقلیدسی سه بعدی، به فضاهایی با هر تعداد بُعد، متناهی یا نامتناهی، گسترش می دهد. یک فضای هیلبرت، فضای برداری مجردی ( به انگلیسی: abstract، انتزاعی ) است که دارای ضرب داخلی بوده و اندازه گیری فاصله در آن، ممکن است. افزون بر این، فضای هیلبرت، کامل است.
فضاهای هیلبرت، به شکل فضای بی نهایت بُعدی توابع در ریاضیات و فیزیک، بسیار ظاهر می شوند. ازین نظر، نخستین فضاهای هیلبرت، دههٔ نخست قرن بیستم از سوی داویت هیلبرت، اِرهارد اشمیت و فریدیش ریس مطالعه شدند. این فضاها، ابزارهای ضروری در معادلات مشتقات جزئی، مکانیک کوانتومی، تحلیل فوریه ( که شامل کاربردهای آن در پردازش سیگنال و انتقال حرارت می شود ) و نظریه ارگودیک ( که زیربنای ریاضی ترمودینامیک است ) هستند. جان فون نویمان، عبارت «فضای هیلبرت» را در مفهومی انتزاعی، که کاربردهای گسترده ای داشت، پیش نهاد.
فضاهای هیلبرت راه را برای عصر پرثمر آنالیز تابعی هموار کرد. در کنار فضاهای اقلیدسی کلاسیک، نمونه هایی از فضاهای هیلبرت، شامل فضاهای توابع مربع - انتگرال پذیر، فضاهای دنباله ای، فضاهای سوبولف شامل توابع تعمیم یافته و فضاهای هاردی از توابع هولومورفیک می شود.
شهود هندسی نقش مهمی در بسیاری از جنبه های فضای هیلبرت بازی می کند. مشابه های دقیقی از قضیه فیثاغورث و قانون متوازی الأضلاع، در فضای هیلبرت نیز هستند. در نگاهی عمیق تر، تصویرکردن متعامد روی زیرفضاها ( مشابه ارتفاع مثلث ها ) نقش مهمی در بهینه سازی و دیگر جنبه های آن، بازی می کند. در مقایسه با مختصات کارتزین در صفحه، یک عنصر از یک فضای هیلبرت را می توان منحصربه فرد از راه مختصات و با توجه به مجموعه ای از محورهای مختصات ( یک پایه متعامد نرمال ) مشخص کرد. وقتی مجموعه ی محورها نامتناهی شمارا باشند، فضای هیلبرت را می توان به صورت دنباله ی نامتناهی که مربع - جمع پذیر هستند تصور کرد. در قدیم، این گونه فضاها را، فضای هیلبرت در نظر می گرفتند. عملگرهای خطی روی یک فضای هیلبرت نیز نسبتاً ملموس هستند؛ در برخی موارد، این عملگرها تبدیلات ساده ای هستند که فضا را در جهت های دوبه دو متعامد با ضریب های متفاوت می کِشند، به گونه ای که با مطالعه طیفشان، می توان آن ها را دقیق تر شناخت.
این نوشته برگرفته از سایت ویکی پدیا می باشد، اگر نادرست یا توهین آمیز است، لطفا گزارش دهید: گزارش تخلففضاهای هیلبرت، به شکل فضای بی نهایت بُعدی توابع در ریاضیات و فیزیک، بسیار ظاهر می شوند. ازین نظر، نخستین فضاهای هیلبرت، دههٔ نخست قرن بیستم از سوی داویت هیلبرت، اِرهارد اشمیت و فریدیش ریس مطالعه شدند. این فضاها، ابزارهای ضروری در معادلات مشتقات جزئی، مکانیک کوانتومی، تحلیل فوریه ( که شامل کاربردهای آن در پردازش سیگنال و انتقال حرارت می شود ) و نظریه ارگودیک ( که زیربنای ریاضی ترمودینامیک است ) هستند. جان فون نویمان، عبارت «فضای هیلبرت» را در مفهومی انتزاعی، که کاربردهای گسترده ای داشت، پیش نهاد.
فضاهای هیلبرت راه را برای عصر پرثمر آنالیز تابعی هموار کرد. در کنار فضاهای اقلیدسی کلاسیک، نمونه هایی از فضاهای هیلبرت، شامل فضاهای توابع مربع - انتگرال پذیر، فضاهای دنباله ای، فضاهای سوبولف شامل توابع تعمیم یافته و فضاهای هاردی از توابع هولومورفیک می شود.
شهود هندسی نقش مهمی در بسیاری از جنبه های فضای هیلبرت بازی می کند. مشابه های دقیقی از قضیه فیثاغورث و قانون متوازی الأضلاع، در فضای هیلبرت نیز هستند. در نگاهی عمیق تر، تصویرکردن متعامد روی زیرفضاها ( مشابه ارتفاع مثلث ها ) نقش مهمی در بهینه سازی و دیگر جنبه های آن، بازی می کند. در مقایسه با مختصات کارتزین در صفحه، یک عنصر از یک فضای هیلبرت را می توان منحصربه فرد از راه مختصات و با توجه به مجموعه ای از محورهای مختصات ( یک پایه متعامد نرمال ) مشخص کرد. وقتی مجموعه ی محورها نامتناهی شمارا باشند، فضای هیلبرت را می توان به صورت دنباله ی نامتناهی که مربع - جمع پذیر هستند تصور کرد. در قدیم، این گونه فضاها را، فضای هیلبرت در نظر می گرفتند. عملگرهای خطی روی یک فضای هیلبرت نیز نسبتاً ملموس هستند؛ در برخی موارد، این عملگرها تبدیلات ساده ای هستند که فضا را در جهت های دوبه دو متعامد با ضریب های متفاوت می کِشند، به گونه ای که با مطالعه طیفشان، می توان آن ها را دقیق تر شناخت.
wiki: فضای هیلبرت