در ریاضیات، فضای برداری نرم دار ( به انگلیسی: Normed Vector Space ) یا فضای نرم دار، فضایی برداری روی اعداد حقیقی یا مختلط است که برای آن نرم تعریف شده باشد. [ ۱] نرم، صوری سازی و تعمیم مفهوم "طول" در جهان واقعی را به فضاهای برداری حقیقی تعمیم می دهد. نرم، تابعی حقیقی - مقدار است که روی فضای برداری عریف شده و اکثراً به صورت x ↦ ‖ x ‖ , نمایش داده شده و دارای خواص زیر است:[ ۲]
• نامنفی است، یعنی برای هر بردار x {\displaystyle x} داریم ‖ x ‖ ≥ 0 {\displaystyle \|x\|\geq 0} .
• روی بردارهای ناصفر، بزرگتر از صفر است: ‖ x ‖ = 0 ⟺ x = 0. {\displaystyle \|x\|=0\Longleftrightarrow x=0. }
• برای هر بردار x {\displaystyle x} ، و هر اسکالر α {\displaystyle \alpha } داریم: ‖ α x ‖ = | α | ‖ x ‖ . {\displaystyle \|\alpha x\|=|\alpha |\|x\|. }
• نامساوی مثلثی برقرار است، یعنی برای هر دو بردار x , y {\displaystyle x, y} داریم: ‖ x + y ‖ ≤ ‖ x ‖ + ‖ y ‖ . {\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|. }
برای هر نرم از طریق رابطه زیر یک متر تعریف می شود:
که فضای برداری نرم دار را تبدیل به یک فضای متری و یک فضای برداری توپولوژیکی می کند. اگر متر d مذکور کامل باشد، به فضای نرم دار مورد نظر، فضای باناخ می گویند.
این نوشته برگرفته از سایت ویکی پدیا می باشد، اگر نادرست یا توهین آمیز است، لطفا گزارش دهید: گزارش تخلف• نامنفی است، یعنی برای هر بردار x {\displaystyle x} داریم ‖ x ‖ ≥ 0 {\displaystyle \|x\|\geq 0} .
• روی بردارهای ناصفر، بزرگتر از صفر است: ‖ x ‖ = 0 ⟺ x = 0. {\displaystyle \|x\|=0\Longleftrightarrow x=0. }
• برای هر بردار x {\displaystyle x} ، و هر اسکالر α {\displaystyle \alpha } داریم: ‖ α x ‖ = | α | ‖ x ‖ . {\displaystyle \|\alpha x\|=|\alpha |\|x\|. }
• نامساوی مثلثی برقرار است، یعنی برای هر دو بردار x , y {\displaystyle x, y} داریم: ‖ x + y ‖ ≤ ‖ x ‖ + ‖ y ‖ . {\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|. }
برای هر نرم از طریق رابطه زیر یک متر تعریف می شود:
که فضای برداری نرم دار را تبدیل به یک فضای متری و یک فضای برداری توپولوژیکی می کند. اگر متر d مذکور کامل باشد، به فضای نرم دار مورد نظر، فضای باناخ می گویند.
wiki: فضای برداری نرم دار