فرمول هاورسین

فرمول هاورسین ( به انگلیسی: Haversine formula ) فاصله دایره بزرگ بین دو نقطه روی یک کره را با توجه به طول و عرض جغرافیایی آن ها تعیین می کند. این فرمول در جهت یابی کاربر دارد که یک مورد خاص از یک فرمول کلی تر در مثلثات کروی، قانون هاورسین ها است که اضلاع و زوایای مثلث های کروی را به هم مرتبط می کند.
اولین جدول هاورسین ها به زبان انگلیسی توسط جیمز اندرو در سال ۱۸۰۵ منتشر شد، اما فلوریان کایوری استفاده قبلی را به خوزه د مندوزا و ریوس در سال ۱۸۰۱ نسبت می دهد. اصطلاح هاورسین در سال ۱۸۳۵ توسط جیمز اینمن ابداع شد.
فرض می کنیم زاویه مرکزی θ بین دو نقطه روی یک کره باشد:
جایی که
• d فاصله بین دو نقطه در امتداد یک دایره بزرگ از کره است.
• r شعاع کره است.
فرمول هاورسین به هاورسین θ ( یعنی hav ( θ ) ) اجازه می دهد که مستقیماً از عرض جغرافیایی ( نمایش داده شده با φ ) و طول جغرافیایی ( نمایش λ ) دو نقطه محاسبه شود:
یا برای اجتناب از استفاده از کسینوس هایی که باعث کاهش وضوح در زوایای کوچک می شوند:
• φ1, φ2 عرض جغرافیایی نقطه ۱ و ۲ است.
• λ1, λ2 طول جغرافیایی نقطه ۱ و ۲ است.
در نهایت، تابع haversine hav ( θ ) که در بالا برای زاویه مرکزی θ و تفاوت در طول و عرض جغرافیایی اعمال می شود،
تابع hasrsine نصف ورسینوس از زاویه θ را محاسبه می کند.
برای حل فاصله d، آرک هاورسین ( harsine معکوس ) را به h = hav ( θ ) یا از تابع آرکسین ( سینوس معکوس ) استفاده کنید:
یا به طور واضح تر:
[ ۱]
همان طور که در زیر توضیح داده شد، فرمول مشابهی را می توان با استفاده از کسینوس ( که گاهی قانون کروی کسینوس نامیده می شود، که با قانون کسینوس ها برای هندسه صفحه اشتباه گرفته نمی شود ) به جای هارسین نوشت، اما اگر این دو نقطه به هم نزدیک باشند ( مثلاً یک کیلومتر روی زمین ) ممکن است به cos ( d/R ) = ۰٫۹۹۹۹۹۹۹۹ می شود، که منجر به پاسخ نادرست است. از آنجایی که فرمول هارسین از سینوس استفاده می کند، از این مشکل جلوگیری می کند.
هر کدام از این فرمول ها زمانی که روی زمین اعمال می شود، فقط یک تقریب است چون زمین یک کره کامل نیست: شعاع زمین R بین ۶۳۵۶٫۷۵۲ کیلومتر در قطب و ۶۳۷۸٫۱۳۷ کیلومتر در خط استوا متغیر است و مهمتر از آن، شعاع انحنای یک خط شمالی - جنوبی در سطح زمین در قطب ( ≈۶۳۹۹٫۵۹۴ کیلومتر ) و در خط استوا ( ≈۶۳۳۵٫۴۳۹ کیلومتر ) است که ۱٪ بیشتر است— بنابراین نمی توان فرمول هارسین و قانون کسینوس را بهتر از ۰٫۵٪ تضمین کرد. روش های دقیق تری که بیضی بودن زمین را در نظر می گیرند با فرمول های وینسنتی و فرمول های دیگر در مقالهٔ فاصله جغرافیایی ارائه شده است.