عدد مثلثی ( به انگلیسی: Triangular number ) به معنی حاصل جمع اعداد متوالی طبیعی گفته می شود به این صورت که اولین عدد مثلثی مساوی است با مجموع یک عدد از اعداد طبیعی، دومین عدد برابر است با مجموع دو عدد از اعداد طبیعی، سومین عدد برابر است با مجموع سه عدد از اعداد طبیعی و . . .
اگر هر دو عدد پشت سرهم در سری اعداد مثلثی را با هم جمع کنیم حاصل جمع یک عدد مربع می شود. مثلاً" ۴=۳+۱ یا ۹=۶+۳ یا ۱۶=۱۰+۶ و . . .
اعداد مثلثی با فرمول های زیر به دست می آیند[ ۱] :
T n = ∑ k = 1 n k = 1 + 2 + 3 + ⋯ + n = n ( n + 1 ) 2 = n 2 + n 2 = ( n + 1 2 )
که در آن ( n + 1 2 ) نشان دهنده یک ضریب دوجمله ای است. [ ۲] این نماد تعداد جفت های متمایزی را نشان می دهد که از میان n + 1 شئ قابل انتخاب هستند؛ و به صورت "انتخاب دو از n + 1 " خوانده می شود. [ ۳]
معادله اول را می توان با استفاده از یک اثبات تصویری نمایش داد. برای هر عدد مثلثی T n یک چینش «نیمه مستطیلی» از اشیاء متناظر با آن عدد مثلثی تصور کنید ( مانند شکل زیر ) . [ ۴] کپی کردن این چیدمان و چرخاندن آن برای ایجاد یک شکل مستطیلی، تعداد اجسام را دو برابر می کند و یک مستطیل با ابعاد n × ( n + 1 ) تولید می کند. [ ۵] ابعاد این مستطیل، تعداد اشکال درونش را نیز نشان می دهند. [ ۶] واضح است که خود عدد مثلثی همیشه دقیقاً نصف تعداد اشیاء در چنین شکلی است؛ یا: T n = n ( n + 1 ) 2 . مثال برای T 4 به شرح زیر است[ ۷] :
2 T 4 = 4 ( 4 + 1 ) = 20 ( سبز به علاوه زرد ) نشان می دهد که T 4 = 4 ( 4 + 1 ) 2 = 10 ( سبز ) .
این فرمول را می توان با استفاده از استقرای ریاضی اثبات کرد. این به وضوح برای عدد 1 درست است[ ۸] :
T 1 = ∑ k = 1 1 k = 1 ( 1 + 1 ) 2 = 2 2 = 1
حال فرض کنید که برای عدد طبیعی m خواهیم داشت: T m = ∑ k = 1 m k = m ( m + 1 ) 2 . با افزودن m + 1 به آن، به این صورت خواهد بود[ ۹] :
بنابراین اگر فرمول برای m درست باشد، برای m + 1 نیز درست است و از آنجایی که به وضوح برای 1 درست است، بنابراین برای 2 ، 3 و در نهایت همه اعداد طبیعی n با استقرا درست است. [ ۱۰]
این نوشته برگرفته از سایت ویکی پدیا می باشد، اگر نادرست یا توهین آمیز است، لطفا گزارش دهید: گزارش تخلفاگر هر دو عدد پشت سرهم در سری اعداد مثلثی را با هم جمع کنیم حاصل جمع یک عدد مربع می شود. مثلاً" ۴=۳+۱ یا ۹=۶+۳ یا ۱۶=۱۰+۶ و . . .
اعداد مثلثی با فرمول های زیر به دست می آیند[ ۱] :
T n = ∑ k = 1 n k = 1 + 2 + 3 + ⋯ + n = n ( n + 1 ) 2 = n 2 + n 2 = ( n + 1 2 )
که در آن ( n + 1 2 ) نشان دهنده یک ضریب دوجمله ای است. [ ۲] این نماد تعداد جفت های متمایزی را نشان می دهد که از میان n + 1 شئ قابل انتخاب هستند؛ و به صورت "انتخاب دو از n + 1 " خوانده می شود. [ ۳]
معادله اول را می توان با استفاده از یک اثبات تصویری نمایش داد. برای هر عدد مثلثی T n یک چینش «نیمه مستطیلی» از اشیاء متناظر با آن عدد مثلثی تصور کنید ( مانند شکل زیر ) . [ ۴] کپی کردن این چیدمان و چرخاندن آن برای ایجاد یک شکل مستطیلی، تعداد اجسام را دو برابر می کند و یک مستطیل با ابعاد n × ( n + 1 ) تولید می کند. [ ۵] ابعاد این مستطیل، تعداد اشکال درونش را نیز نشان می دهند. [ ۶] واضح است که خود عدد مثلثی همیشه دقیقاً نصف تعداد اشیاء در چنین شکلی است؛ یا: T n = n ( n + 1 ) 2 . مثال برای T 4 به شرح زیر است[ ۷] :
2 T 4 = 4 ( 4 + 1 ) = 20 ( سبز به علاوه زرد ) نشان می دهد که T 4 = 4 ( 4 + 1 ) 2 = 10 ( سبز ) .
این فرمول را می توان با استفاده از استقرای ریاضی اثبات کرد. این به وضوح برای عدد 1 درست است[ ۸] :
T 1 = ∑ k = 1 1 k = 1 ( 1 + 1 ) 2 = 2 2 = 1
حال فرض کنید که برای عدد طبیعی m خواهیم داشت: T m = ∑ k = 1 m k = m ( m + 1 ) 2 . با افزودن m + 1 به آن، به این صورت خواهد بود[ ۹] :
بنابراین اگر فرمول برای m درست باشد، برای m + 1 نیز درست است و از آنجایی که به وضوح برای 1 درست است، بنابراین برای 2 ، 3 و در نهایت همه اعداد طبیعی n با استقرا درست است. [ ۱۰]
wiki: عدد مثلثی