عدد طبیعی مثبت n قدرتمند است اگر به ازای هر عدد اول p که n را عاد می کند، عدد p 2 نیز n را عاد کند. می توان نشان داد هر عدد قدرتمند مانند m را می توان به صورت a 2 b 3 نوشت که a, b هر دو اعدادی طبیعی هستند.
در زیر فهرستی از اعداد قدرتمند کوچکتر از ۱۰۰۰ را می بینیم:
۱, ۴, ۸, ۹, ۱۶, ۲۵, ۲۷, ۳۲, ۳۶, ۴۹, ۶۴, ۷۲, ۸۱, ۱۰۰, ۱۰۸, ۱۲۱, ۱۲۵, ۱۲۸, ۱۴۴, ۱۶۹, ۱۹۶, ۲۰۰, ۲۱۶, ۲۲۵, ۲۴۳, ۲۵۶, ۲۸۸, ۲۸۹, ۳۲۴, ۳۴۳, ۳۶۱, ۳۹۲, ۴۰۰, ۴۳۲, ۴۴۱, ۴۸۴, ۵۰۰, ۵۱۲, ۵۲۹, ۵۷۶, ۶۲۵, ۶۴۸, ۶۷۵, ۶۷۶, ۷۲۹, ۷۸۴, ۸۰۰, ۸۴۱, ۸۶۴, ۹۰۰, ۹۶۱, ۹۶۸, ۹۷۲، و ۱۰۰۰.
همچنین جفت های متوالی از اعداد قدرتمند وجود دارد:
( ۸٬۹ ) , ( ۲۸۸٬۲۸۹ ) , ( ۶۷۵٬۶۷۶ ) , ( ۹۸۰۰٬۹۸۰۱ ) , ( ۱۲۱۶۷٬۱۲۱۶۸ ) , ( ۲۳۵۲۲۴٬۲۳۵۲۲۵ ) , ( ۳۳۲۹۲۸٬۳۳۲۹۲۹ ) و ( ۴۶۵۱۲۴٬۴۶۵۱۲۵ ) .
اردوش در سال ۱۹۷۵ حدس زد که هیچ سه عدد قدرتمند متوالی وجود ندارد، همچنین گولومب در سال ۱۹۷۰، مولین و والاش به طور جداگانه در سال ۱۹۸۶ این فرض را حدس زدند و اخیراً نشان داده شده است که ۳ حکم زیر معادلند ( قضیه مولین و والاش ) :
• سه عدد قدرتمند متوالی وجود دارند.
• عدد قدرتمند زوج p و عدد قدرتمند فرد q به صورت p 2 − q = 1 {\displaystyle p^{2} - q=1} وجود دارند.
• عدد طبیعی m که مربع کامل نیست وجود دارد که m ≡ 7 ( mod 7 ) {\displaystyle m\equiv 7{\pmod {7}}} و ( T 1 + U 1 m ) k = T k + U k m {\displaystyle { ( T_{1}+U_{1}{\sqrt {m}} ) }^{k}=T_{k}+U_{k}{\sqrt {m}}} و k عدد طبیعی فردی است که T k {\displaystyle T_{k}} kامین عدد زوج قدرتمند است و U k {\displaystyle U_{k}} kامین عدد فرد با خاصیت زیر است.
• گولومب نشان داد که هیچ زوج عدد قدرتمند به صورت ( 4k - 1, 4k+1 ) وجود ندارد و همچنین فهمید در صورت وجود ۳ عدد متوالی قدرتمند این ۳ عدد باید به صورت ( 4k - 1, 4k. 4k+1 ) باشند.
• گرنویل نشان داد که اگر قضیه مولین و والاش درست باشد انگاه بی نهایت عدد اول p وجود دارد که p 2 {\displaystyle p^{2}} مضربی از 2 p − 2 {\displaystyle 2^{p} - 2} نباشد.
این نوشته برگرفته از سایت ویکی پدیا می باشد، اگر نادرست یا توهین آمیز است، لطفا گزارش دهید: گزارش تخلفدر زیر فهرستی از اعداد قدرتمند کوچکتر از ۱۰۰۰ را می بینیم:
۱, ۴, ۸, ۹, ۱۶, ۲۵, ۲۷, ۳۲, ۳۶, ۴۹, ۶۴, ۷۲, ۸۱, ۱۰۰, ۱۰۸, ۱۲۱, ۱۲۵, ۱۲۸, ۱۴۴, ۱۶۹, ۱۹۶, ۲۰۰, ۲۱۶, ۲۲۵, ۲۴۳, ۲۵۶, ۲۸۸, ۲۸۹, ۳۲۴, ۳۴۳, ۳۶۱, ۳۹۲, ۴۰۰, ۴۳۲, ۴۴۱, ۴۸۴, ۵۰۰, ۵۱۲, ۵۲۹, ۵۷۶, ۶۲۵, ۶۴۸, ۶۷۵, ۶۷۶, ۷۲۹, ۷۸۴, ۸۰۰, ۸۴۱, ۸۶۴, ۹۰۰, ۹۶۱, ۹۶۸, ۹۷۲، و ۱۰۰۰.
همچنین جفت های متوالی از اعداد قدرتمند وجود دارد:
( ۸٬۹ ) , ( ۲۸۸٬۲۸۹ ) , ( ۶۷۵٬۶۷۶ ) , ( ۹۸۰۰٬۹۸۰۱ ) , ( ۱۲۱۶۷٬۱۲۱۶۸ ) , ( ۲۳۵۲۲۴٬۲۳۵۲۲۵ ) , ( ۳۳۲۹۲۸٬۳۳۲۹۲۹ ) و ( ۴۶۵۱۲۴٬۴۶۵۱۲۵ ) .
اردوش در سال ۱۹۷۵ حدس زد که هیچ سه عدد قدرتمند متوالی وجود ندارد، همچنین گولومب در سال ۱۹۷۰، مولین و والاش به طور جداگانه در سال ۱۹۸۶ این فرض را حدس زدند و اخیراً نشان داده شده است که ۳ حکم زیر معادلند ( قضیه مولین و والاش ) :
• سه عدد قدرتمند متوالی وجود دارند.
• عدد قدرتمند زوج p و عدد قدرتمند فرد q به صورت p 2 − q = 1 {\displaystyle p^{2} - q=1} وجود دارند.
• عدد طبیعی m که مربع کامل نیست وجود دارد که m ≡ 7 ( mod 7 ) {\displaystyle m\equiv 7{\pmod {7}}} و ( T 1 + U 1 m ) k = T k + U k m {\displaystyle { ( T_{1}+U_{1}{\sqrt {m}} ) }^{k}=T_{k}+U_{k}{\sqrt {m}}} و k عدد طبیعی فردی است که T k {\displaystyle T_{k}} kامین عدد زوج قدرتمند است و U k {\displaystyle U_{k}} kامین عدد فرد با خاصیت زیر است.
• گولومب نشان داد که هیچ زوج عدد قدرتمند به صورت ( 4k - 1, 4k+1 ) وجود ندارد و همچنین فهمید در صورت وجود ۳ عدد متوالی قدرتمند این ۳ عدد باید به صورت ( 4k - 1, 4k. 4k+1 ) باشند.
• گرنویل نشان داد که اگر قضیه مولین و والاش درست باشد انگاه بی نهایت عدد اول p وجود دارد که p 2 {\displaystyle p^{2}} مضربی از 2 p − 2 {\displaystyle 2^{p} - 2} نباشد.
wiki: عدد قدرتمند