عدد جبری

یک عدد جبری ( طبق اصطلاحی که کرونکر ریاضی دان آلمانی بکار برد [ ۱] ) ، یک عدد مختلط است که پاسخ معادله ای به شکل زیر باشد:
anxn + an−۱xn−۱ + ··· + a۱x + a۰ = ۰
که ضریب های a۰ تا an در این معادله چندجمله ای، عددهایی گویا باشند.
اگر an = ۱، به ریشه های معادلهٔ بالا عدد جبری صحیح گویند.
در حالت کلی اگر ضریب های معادلهٔ چندجمله ای مان از یک میدان دیگری به غیر از اعداد گویا آمده باشند، فرض کنید میدان k ، ریشه های آن را عددهایی جبری روی میدان k گوئیم و قید نکردن نام میدان در حالتی که در متن اشاره ای به میدان خاصی نشده باشد به معنای این است که میدان را اعداد گویا گرفته ایم و ریشه ها نیز در میدان شکافندهٔ این میدان در نظر گرفته شده اند که الزامی ندارد حتماً اعداد مختلط باشد، برای نمونه اگر ضریب ها از میدانی با سرشت نمای ناصفر بیایند دیگر هیچ گونه رابطهٔ شمولی بین میدان در بردارندهٔ ریشه ها و میدان اعداد مختلط وجود ندارد.
به عدد مختلطی که جبری نباشد، یعنی هیچ معادلهٔ چندجمله ای با ضریب های گویا که ریشه اش شود نتوان یافت، یک عدد متعالی گوئیم. از عددهای متعالی مشهور می توان عدد نپر و عدد پی را نام برد. اولین عدد متعالی را ریاضی دان فرانسوی جوزف لیوویل در سال ۱۸۴۴ میلادی با اثبات معرفی کرد[ ۲] که گسترش آن اثبات خانوادهٔ بزرگی از اعداد متعالی را آشکار ساخت و به احترام او آن ها را اعداد لیوویل می گویند.
به روش مشابه اعدادی را که جبری روی میدان k نباشند را اعداد متعالی روی k می نامند.
• تمامی اعداد گویا جبری هم هستند، چرا که، خارج قسمت دو عدد صحیح p {\displaystyle p\!} و q {\displaystyle q\!} که q {\displaystyle q} ناصفر باشد، یعنی، p q {\displaystyle {\frac {p}{q}}\!} ریشهٔ معادلهٔ q x − p = 0 {\displaystyle qx - p=0\!} است.
• ریشهٔ n {\displaystyle n} اُم یک عدد گویا عددی جبری است. یک عدد گویا مانند q ∈ Q {\displaystyle q\in \mathbb {Q} } بردارید و ریشهٔ n {\displaystyle n} آن یعنی q n {\displaystyle {\sqrt{q}}} را در نظر بگیرید. ممکن است در عددهای حقیقی موجود نباشد ولی در عددهای مختلط برای اعداد منفی نیز ریشهٔ زوج تعریف می شود و اعداد جبری عددهای مختلط هستند پس اگر برای نمونه با جذر منهای یک روبرو هستیم مشکلی وجود ندارد. این عدد یک ریشه از چندجمله ای x n − q {\displaystyle x^{n} - q} است.