اعداد برنولی با نماد Bn در ریاضیات، دنباله ای اند از عددهای گویا که در نظریه اعداد روی می دهد. مقدار ۲۰ عدد برنولی در جدول کناری آمده است.
به ازای هر n ناصفر زوج، اگر n بر ۴ بخش پذیر باشد Bn منفی و در غیر این صورت مثبت خواهد بود همچنین به ازای nهای فرد غیر از ۱، Bn صفر خواهد بود.
در فرمول زیر روش انتقال از عدد منفی به مثبت نشان داده شده است:
B n + = ( − 1 ) n B n −
اعداد برنولی، مقدارهای خاصی از چندجمله ای برنولی، B n ( x ) اند[ ۱] با فرض B n − = B n ( 0 ) و B n + = B n ( 1 ) . [ ۱]
از آنجایی که به ازای همهٔ اعداد فرد بزرگتر از ۱، Bn = ۰ است بسیاری از فرمول هایی که برای عددهای برنولی ارائه می شود در اصل برای اعداد زوج است و منظور از "Bn" همان B2n است.
اعداد برنولی در گسترش بسط تیلور توابع مثلثاتی و تانژانت توابع هذلولوی، در فرمول فالهابر برای جمع توان های نخستین اعداد صحیح مثبت ( ∑ k = 1 n k p = 1 p + 2 p + ⋯ + n p ) ، در فرمول اویلر - مکلورن و در جاهایی در تابع زتای ریمان دیده می شود.
عددهای برنولی توسط ریاضی دان سوئیسی یاکوب برنولی معرفی شدند و به نام او ثبت شدند اما یک ریاضی دان ژاپنی به نام سکی تاکاکازو نیز این اعداد را شناسایی کرده بود که پس از مرگش در ۱۷۱۲ مقاله اش منتشر شد؛[ ۲] [ ۳] کار او کاتسویو سامپو نام داشت.
ایدا لاولیس در نوشته هایش پیرامون موتور تحلیلی از ۱۸۴۲ به توصیف الگوریتمی برای تولید اعداد برنولی توسط ماشین ببیج می پردازد. [ ۴]
گذشتهٔ اعداد برنولی ریشه در تاریخ محاسبهٔ مجموع توان های اعداد طبیعی دارد. روش های محاسبهٔ جمع n عدد طبیعی نخست ( ∑ k = 1 n k = 1 + 2 + ⋯ + n ) همچنین جمع توان دوها ( مربعات ) ( ∑ k = 1 n k 2 = 1 2 + 2 2 + ⋯ + n 2 ) و توان سه ها ( مکعبات ) n عدد طبیعی ( ∑ k = 1 n k 3 = 1 3 + 2 3 + ⋯ + n 3 ) قبلاً بدست آمده بود اما هیچ فرمول ریاضی مشخصی برای آنها گفته نشده بود و حل آنها تنها به صورت توضیحی و با واژه ها بیان شده بود، بدون فرمول ریاضی. از جمله ریاضی دانان نامی که به حل مجموع توان های اعداد طبیعی پرداختند می توان به فیثاغورس، ارشمیدس، آریابهاتا، ابوبکر کرجی و ابن هیثم اشاره کرد.
در سدهٔ شانزدهم و آغاز سدهٔ هفده ام میلادی ریاضی دانان پیشرفت شگرفی در این زمینه کردند. در غرب، توماس هریوت ( ۱۵۶۰ تا ۱۶۲۱ ) از انگلستان، یوهان فالهابر ( ۱۵۸۰ تا ۱۶۳۵ ) از آلمان و پیر دو فرما ( ۱۶۰۱ تا ۱۶۶۵ ) و همکار فرانسوی اش بلز پاسکال ( ۱۶۲۳ تا ۱۶۶۲ ) همگی نقش مهمی در این زمینه داشتند.
این نوشته برگرفته از سایت ویکی پدیا می باشد، اگر نادرست یا توهین آمیز است، لطفا گزارش دهید: گزارش تخلفبه ازای هر n ناصفر زوج، اگر n بر ۴ بخش پذیر باشد Bn منفی و در غیر این صورت مثبت خواهد بود همچنین به ازای nهای فرد غیر از ۱، Bn صفر خواهد بود.
در فرمول زیر روش انتقال از عدد منفی به مثبت نشان داده شده است:
B n + = ( − 1 ) n B n −
اعداد برنولی، مقدارهای خاصی از چندجمله ای برنولی، B n ( x ) اند[ ۱] با فرض B n − = B n ( 0 ) و B n + = B n ( 1 ) . [ ۱]
از آنجایی که به ازای همهٔ اعداد فرد بزرگتر از ۱، Bn = ۰ است بسیاری از فرمول هایی که برای عددهای برنولی ارائه می شود در اصل برای اعداد زوج است و منظور از "Bn" همان B2n است.
اعداد برنولی در گسترش بسط تیلور توابع مثلثاتی و تانژانت توابع هذلولوی، در فرمول فالهابر برای جمع توان های نخستین اعداد صحیح مثبت ( ∑ k = 1 n k p = 1 p + 2 p + ⋯ + n p ) ، در فرمول اویلر - مکلورن و در جاهایی در تابع زتای ریمان دیده می شود.
عددهای برنولی توسط ریاضی دان سوئیسی یاکوب برنولی معرفی شدند و به نام او ثبت شدند اما یک ریاضی دان ژاپنی به نام سکی تاکاکازو نیز این اعداد را شناسایی کرده بود که پس از مرگش در ۱۷۱۲ مقاله اش منتشر شد؛[ ۲] [ ۳] کار او کاتسویو سامپو نام داشت.
ایدا لاولیس در نوشته هایش پیرامون موتور تحلیلی از ۱۸۴۲ به توصیف الگوریتمی برای تولید اعداد برنولی توسط ماشین ببیج می پردازد. [ ۴]
گذشتهٔ اعداد برنولی ریشه در تاریخ محاسبهٔ مجموع توان های اعداد طبیعی دارد. روش های محاسبهٔ جمع n عدد طبیعی نخست ( ∑ k = 1 n k = 1 + 2 + ⋯ + n ) همچنین جمع توان دوها ( مربعات ) ( ∑ k = 1 n k 2 = 1 2 + 2 2 + ⋯ + n 2 ) و توان سه ها ( مکعبات ) n عدد طبیعی ( ∑ k = 1 n k 3 = 1 3 + 2 3 + ⋯ + n 3 ) قبلاً بدست آمده بود اما هیچ فرمول ریاضی مشخصی برای آنها گفته نشده بود و حل آنها تنها به صورت توضیحی و با واژه ها بیان شده بود، بدون فرمول ریاضی. از جمله ریاضی دانان نامی که به حل مجموع توان های اعداد طبیعی پرداختند می توان به فیثاغورس، ارشمیدس، آریابهاتا، ابوبکر کرجی و ابن هیثم اشاره کرد.
در سدهٔ شانزدهم و آغاز سدهٔ هفده ام میلادی ریاضی دانان پیشرفت شگرفی در این زمینه کردند. در غرب، توماس هریوت ( ۱۵۶۰ تا ۱۶۲۱ ) از انگلستان، یوهان فالهابر ( ۱۵۸۰ تا ۱۶۳۵ ) از آلمان و پیر دو فرما ( ۱۶۰۱ تا ۱۶۶۵ ) و همکار فرانسوی اش بلز پاسکال ( ۱۶۲۳ تا ۱۶۶۲ ) همگی نقش مهمی در این زمینه داشتند.
wiki: عدد برنولی