عدد اصلی

در ریاضیات، اعداد کاردینال ( به انگلیسی: Cardinal Numbers ) ( یا اعداد اصلی یا صرفاً کاردینال ها ) ، تعمیم اعداد طبیعی اند که جهت اندازه گیری کاردینالیتی ( اندازه ) مجموعه ها از آن استفاده می شود. کاردینالیتی یک مجموعه متناهی همیشه عددی طبیعی است که برابر با همان تعداد اعضای مجموعه می باشد. اعداد کاردینال ترامتناهی را اغلب با استفاده از حرف عبری ℵ نمایش می دهند که به دنبال آن زیرنویسی[ ۱] قرار داده می شود که توصیف کننده اندازه مجموعه های نامتناهی است.
کاردینالیتی را براساس تناظر دوسویه تعریف می کنند. دو مجموعه دارای کاردینالیتی یکسانی اند اگر و تنها اگر تناظر دوسویه ای بین اعضای آن دو مجموعه وجود داشته باشد. در حالتی که مجموعه ها متناهی باشند، کاردینال مجموعه هایی که با هم کاردینال برابری دارند برابر با همان مفهوم شهودی اندازه مجموعه است. در مواردی که مجموعه ها نامتناهی باشند، رفتار کاردینالیتی شان کمی پیچیده تر می شود. در قضیه ای بنیادی از گئورگ کانتور، نشان داده شده که ممکن است مجموعه های نامتناهی دارای کاردینالیتی های متفاوتی باشند، مثلاً در مورد خاص اعداد حقیقی، کاردینال این اعداد بزرگتر از کاردینال اعداد طبیعی است. همچنین ممکن است زیرمجموعه محضی از یک مجموعه نامتناهی دارای کاردینالی برابر با مجموعه اولیه باشد، در حالی که چنین حالتی در مورد مجموعه های متناهی هرگز رخ نمی دهد.
دنباله ترامتناهی از اعداد کاردینال وجود دارد:
این دنباله با اعداد حسابی شامل صفر شروع می شود ( کاردینال های متناهی ) ، و سپس اعداد الف ( کاردینال های نامتناهی از مجموعه های خوش ترتیب ) در پی آن می آیند. اعداد الف توسط اعداد ترتیبی اندیس گذاری می شوند. تحت فرض اصل موضوع انتخاب، این دنباله ترامتناهی شامل تمام کاردینال ها می شود. اگر کسی آن اصل را رد کند، شرایط پیچیده تر خواهد شد، به گونه ای که وجود کاردینال های نامتناهی بیشتری غیر از الف ها تأیید خواهد شد.
مطالعه خود کاردینالیتی به عنوان بخشی از نظریه مجموعه ها مطالعه می شود. همچنین از آن به عنوان ابزاری جهت استفاده در شاخه های ریاضیات شامل نظریه مدل، ترکیبیات، جبر مجرد و آنالیز ریاضی مورد استفاده واقع می شود. در نظریه رسته ها، اعداد کاردینال تشکیل اسکلتی برای رسته مجموعه ها می دهند.
اعداد اصلی از قوانین زیر پیروی می کنند:

عدد اصلی (cardinal number)
در ریاضیات، هر عدد از رشته عددهای ۰، ۱، ۲، ۳، و غیره عددهای اصلی نشان دهندۀ شماره یا تعدادند. در مقابل، عددهای ترتیبی اول، دوم، سوم، چهارم و ... ترتیب را نشان می دهند. به مجموعه ها نیز مفهومی با نام عدد اصلی نسبت می دهند که در مجموعه های متناهی برابر با تعداد اعضا است. کلاً، عدد اصلی دو مجموعه یکی است، اگر بتوان تناظری یک به یک بین اعضای آن دو مجموعه برقرار کرد.