در نظریه اعداد، ضرب دیریکله یا پیچش دیریکله توابع حسابی، یک عمل دوتایی بین توابع حسابی است که از اهمیت زیادی برخوردار است. این نوع عمل اولین بار توسط دیریکله ریاضیدان آلمانی تعریف شده است.
اگر f و g دو تابع حسابی باشند، در این صورت حاصل ضرب دیریکله f و g را با f*g نشان می دهیم و برای هر عدد طبیعی n به صورت زیر تعریف می کنیم:
که در آن مجموع روی مقسوم علیه های n است. چنین مجموع هایی در سراسر نظریه اعداد بویژه نظریه تحلیلی اعداد رخ می دهند و لذا از اهمیت خاصی دارند.
توجه داشته باشید که دو مجموع فوق فقط در ترتیب عوامل شرکت کننده در جمع تفادت دارند. ￭
f* ( g*h ) = ( f*g ) *h
حال برای هر n داریم:
پس:
از طرفی داریم:
پس حکم ثابت می شود. ￭
توجه داشته باشید که جملات مجموع فوق برای هر d< n صفر بوده و برای d=n برابر ( f ( n می باشد. حال چون ضرب دیریکله جابجایی است پس f*I=I*f=f و لذا حکم ثابت می شود. ￭
f* ( h+g ) =f*g+f*h
( f ∗ ( g + h ) ) ( n ) = ∑ d | n f ( d ) g ( n d ) + ∑ d | n f ( d ) h ( n d ) = ( f ∗ g ) ( n ) + ( f ∗ h ) ( n )
ولذا حکم برقرار است. ￭
خواننده می تواند تحقیق کند که اگر m, n اعداد صحیح و متباین باشند و d|mn اعداد صحیح و یکتایی چون d1, d2 وجود دارند به طوری که d=d1d2 و d1|m و d2|n. با بکارگیری این قضیه برای هر d|mn اعداد a, b وجود دارند که d=ab و a|m و b|n پس عبارت فوق به صورت زیر قابل تبدیل است:
چون 1= ( n, m ) پس 1= ( a, b ) و نیز 1= ( m/a, n/b ) و چون f, g توابعی ضربی اند:
بنابراین h ضربی است و حکم ثابت می شود. ￭
نکته جالب توجه این است که رده ای از توابع حسابی نسبت به ضرب دیریکله دارای معکوس هستند. اگر f تابعی حسابی باشد، تابع حسابی g را معکوس دیریکله f می گوییم هرگاه f*g=g*f=I. قضیه زیر بیان می کند که یک تابع حسابی در چه صورت دارای معکوس دیریکله است.
پس جواب معادله f − 1 = 1 f ( 1 ) است و یکتا است. حال فرض می کنیم حکم برای هر عدد طبیعی کوچک تر از n درست باشد. نشان می دهیم حکم برای n نیز درست است. معادله
را حل می کنیم ( چون n> 1 عبارت برابر صفر است ) . داریم:
و بنابر فرض استقرا جوابی یکتا حاصل می شود و برهان کامل می شود. ￭
اگر f تابعی کاملاً ضربی باشد، معکوس دیریکله آن به سادگی قابل محاسبه است. ابتدا دقت می کنیم که هر تابع ضربی و بخصوص تابع کاملاً ضربی دارای این خاصیت است که 1= ( f ( 1 پس معکوس دیریکله در هر حال وجود دارد.
این نوشته برگرفته از سایت ویکی پدیا می باشد، اگر نادرست یا توهین آمیز است، لطفا گزارش دهید: گزارش تخلفاگر f و g دو تابع حسابی باشند، در این صورت حاصل ضرب دیریکله f و g را با f*g نشان می دهیم و برای هر عدد طبیعی n به صورت زیر تعریف می کنیم:
که در آن مجموع روی مقسوم علیه های n است. چنین مجموع هایی در سراسر نظریه اعداد بویژه نظریه تحلیلی اعداد رخ می دهند و لذا از اهمیت خاصی دارند.
توجه داشته باشید که دو مجموع فوق فقط در ترتیب عوامل شرکت کننده در جمع تفادت دارند. ￭
f* ( g*h ) = ( f*g ) *h
حال برای هر n داریم:
پس:
از طرفی داریم:
پس حکم ثابت می شود. ￭
توجه داشته باشید که جملات مجموع فوق برای هر d< n صفر بوده و برای d=n برابر ( f ( n می باشد. حال چون ضرب دیریکله جابجایی است پس f*I=I*f=f و لذا حکم ثابت می شود. ￭
f* ( h+g ) =f*g+f*h
( f ∗ ( g + h ) ) ( n ) = ∑ d | n f ( d ) g ( n d ) + ∑ d | n f ( d ) h ( n d ) = ( f ∗ g ) ( n ) + ( f ∗ h ) ( n )
ولذا حکم برقرار است. ￭
خواننده می تواند تحقیق کند که اگر m, n اعداد صحیح و متباین باشند و d|mn اعداد صحیح و یکتایی چون d1, d2 وجود دارند به طوری که d=d1d2 و d1|m و d2|n. با بکارگیری این قضیه برای هر d|mn اعداد a, b وجود دارند که d=ab و a|m و b|n پس عبارت فوق به صورت زیر قابل تبدیل است:
چون 1= ( n, m ) پس 1= ( a, b ) و نیز 1= ( m/a, n/b ) و چون f, g توابعی ضربی اند:
بنابراین h ضربی است و حکم ثابت می شود. ￭
نکته جالب توجه این است که رده ای از توابع حسابی نسبت به ضرب دیریکله دارای معکوس هستند. اگر f تابعی حسابی باشد، تابع حسابی g را معکوس دیریکله f می گوییم هرگاه f*g=g*f=I. قضیه زیر بیان می کند که یک تابع حسابی در چه صورت دارای معکوس دیریکله است.
پس جواب معادله f − 1 = 1 f ( 1 ) است و یکتا است. حال فرض می کنیم حکم برای هر عدد طبیعی کوچک تر از n درست باشد. نشان می دهیم حکم برای n نیز درست است. معادله
را حل می کنیم ( چون n> 1 عبارت برابر صفر است ) . داریم:
و بنابر فرض استقرا جوابی یکتا حاصل می شود و برهان کامل می شود. ￭
اگر f تابعی کاملاً ضربی باشد، معکوس دیریکله آن به سادگی قابل محاسبه است. ابتدا دقت می کنیم که هر تابع ضربی و بخصوص تابع کاملاً ضربی دارای این خاصیت است که 1= ( f ( 1 پس معکوس دیریکله در هر حال وجود دارد.
wiki: ضرب دیریکله