شکل گسترده بازی

در نظریه بازی ها، شکل گسترده، توصیفی از یک بازی است. ویژگی های مهم این توصیف عبارتند از: ترتیب دهی حرکت های ممکن بازیکنان، تصمیمات آن ها در هر نقطهٔ تصمیم، اطلاعات ( شاید اطلاعات ناکامل ) هر بازیکن دربارهٔ حرکت های بازیکن دیگر در هنگام تصمیم و دستاوردهای بازیکن برای همهٔ پیامدهای ممکن بازی. شکل گسترده همچنین اجازه می دهد که اطلاعات ناکامل در قالب اتفاقات شانسی ( احتمالی ) ارائه شود که توسط طبیعت صورت می گیرد.
یک بازی به شکل گسترده از موارد زیر تشکیل شده است:
۱. مجموعه ای محدود از n بازیکن ( عقلایی )
۲. درختی ریشه دار به نام درخت بازی
۳. هر گره ( برگ ) انتهایی درخت بازی، یک دستاورد n تایی دارد یعنی برای هر بازیکن در انتهای هر بازی ممکنی یک دستاورد وجود دارد.
۴. بخشی از گره های غیر انتهایی درخت بازی در n+1 زیر مجموعه، یک زیر مجموعه برای هر بازیکن ( عقلایی ) و با زیر مجموعهٔ ویژه ای برای بازیکن ساختگی به نام احتمال ( یا طبیعت ) . زیر مجموعهٔ گره های هر بازیکن به عنوان «گره های بازیکن» معرفی می شود ( بنابراین یک بازی با اطلاعات کامل، مجموعهٔ تهی از گره های احتمال دارد ) .
۵. هر گرهٔ بازیکن احتمال ( طبیعت ) یک توزیع احتمال روی خروجی های خود دارد.
۶. هر مجموعه ای از گره های یک بازیکن عقلایی بیشتر در مجموعه های اطلاعات افراز می شود که انتخاب های معین غیرقابل تشخیصی را برای بازیکن هنگام حرکت به وجود می آورد از این جهت که:
• یک رابطهٔ یک به یک بین شاخه های خروجی هر دو گرهٔ موجود در یک مجموعه ی اطلاعاتی وجود دارد – بنابراین مجموعهٔ همهٔ شاخه های خروجی یک مجموعهٔ اطلاعاتی در گروه های هم ارزی افراز می شوند که هر گروه ارائه دهندهٔ یک انتخاب ممکن برای حرکت یک بازیکن در همان نقطهٔ بازی است.
• و هر مسیر ( جهت دار ) در درخت بازی از سمت ریشه به سمت گره انتهایی حداکثر می تواند یک بار از هر مجموعهٔ اطلاعاتی بگذرد.
۷. شرح کامل بازی تعریف شده توسط پارامترهای فوق، دانش مشترک میان بازیکنان است ( یعنی همهٔ بازیکنان از آن مطلع اند ) .
بنابراین یک بازی، مسیری است از ریشه به سمت گره انتهایی در یک درخت بازی. در هر گره غیر انتهایی معین که متعلق به شانس ( احتمال ) است، یک شاخهٔ خروجی بر اساس توزیع احتمال انتخاب می شود. در هر گرهٔ بازیکن عقلایی، بازیکن باید یکی از گروه های هم ارز را انتخاب کند که دقیقاً شاخهٔ خروجی را مشخص می کند جز آنکه ( در حالت کلی ) بازیکن نمی داند به دنبال کدام یک است. ( یک ناظر بیرونی با دانستن انتخاب های هر بازیکن دیگری در آن نقطه و تحقق حرکت های بازیکن طبیعت، می تواند به طور دقیق شاخه را مشخص کند ) . یک استراتژی محض برای بازیکن شامل یک انتخاب است ( با انتخاب دقیق یک گروه هم ارز از شاخه های خروجی برای هر مجموعهٔ اطلاعاتی خودش ) .