در ریاضیات، به خصوص در جبر مجرد، شبه - گروه ( Quasigroup ) ، ساختاری جبری مشابه با گروه ها است، چرا که همیشه «تقسیم» امکان پذیر می باشد. تفاوت عمده شبه - گروه ها با گروه ها در این است که شبه - گروه ها لزوماً شرکت پذیر نیستند.
شبه - گروهی که همانی داشته باشد را لوپ ( Loop ) گویند.
حداقل دو تعریف صوری معادل برای شبه - گروه ها وجود دارند. یکی از این تعاریف شبه - گروه ها را به عنوان مجموعه ای مجهز به عمل دوتایی تعریف کرده و دیگری از جبر جهانی کمک گرفته و شبه گروه را به عنوان ساختاری با سه عملگر دوتایی در نظر می گیرد. تصویر هم ریختی شبه - گروهی که فقط با یک عملگر دوتایی تعریف شده باشد لزوماً شبه - گروه نخواهد بود. [ ۱]
شبه - گروه ( Q , ∗ ) ، مجموعه ناتهی Q است که مجهز به یک عملگر دوتایی ∗ ( یعنی ماگما ) باشد به گونه ای که در خاصیت مربع لاتین صدق کند. این خاصیت بیان می دارد که برای هر a , b ∈ Q ، عناصری چون x , y ∈ Q وجود دارند به طوری که در اتحادهای زیر صدق کنند:
a ∗ x = b y ∗ a = b
به بیان دیگر هر عنصر مجموعه دقیقاً در هر سطر و هر ستون از جدول ضرب کیلی شبه - گروه پدیدار شود. این خاصیت تضمین می کند که جدول کیلی یک شبه - گروه متناهی، به خصوص یک گروه متناهی، مربع لاتین خواهد بود. الزام به یکتا بودن را می توان با شرط حذف پذیر بودن ماگما ( یعنی ماگما خاصیت حذف شدن را داشته باشد ) جایگزین کرد. [ ۲]
جواب یکتای این معادلات به صورت x = a ∖ b و y = b / a نوشته می شوند. عملیات ∖ و / را به ترتیب تقسیم چپ و تقسیم راست می نامند.
مجموعه تهی که مجهز به عمل دوتایی تهی باشد، در این تعریف از شبه - گروه صدق می کند. برخی از مؤلفان شبه - گروه های تهی را به رسمیت می شناسند، ولی سایر مؤلفان به طور صریح آن ها را مستثنا می کنند. [ ۳] [ ۴]
↑ Smith, Jonathan D. H. ( 2007 ) . An introduction to quasigroups and their representations. Boca Raton, Fla. : Chapman & Hall/CRC. pp. 3, 26–27. ISBN 978 - 1 - 58488 - 537 - 5. ↑ H. Rubin; J. E. Rubin ( 1985 ) . Equivalents of the Axiom of Choice, II. Elsevier. p. 109. ↑ ( Pflugfelder 1990، ص. 2 ) ↑ ( Bruck 1971، ص. 1 )
این نوشته برگرفته از سایت ویکی پدیا می باشد، اگر نادرست یا توهین آمیز است، لطفا گزارش دهید: گزارش تخلفشبه - گروهی که همانی داشته باشد را لوپ ( Loop ) گویند.
حداقل دو تعریف صوری معادل برای شبه - گروه ها وجود دارند. یکی از این تعاریف شبه - گروه ها را به عنوان مجموعه ای مجهز به عمل دوتایی تعریف کرده و دیگری از جبر جهانی کمک گرفته و شبه گروه را به عنوان ساختاری با سه عملگر دوتایی در نظر می گیرد. تصویر هم ریختی شبه - گروهی که فقط با یک عملگر دوتایی تعریف شده باشد لزوماً شبه - گروه نخواهد بود. [ ۱]
شبه - گروه ( Q , ∗ ) ، مجموعه ناتهی Q است که مجهز به یک عملگر دوتایی ∗ ( یعنی ماگما ) باشد به گونه ای که در خاصیت مربع لاتین صدق کند. این خاصیت بیان می دارد که برای هر a , b ∈ Q ، عناصری چون x , y ∈ Q وجود دارند به طوری که در اتحادهای زیر صدق کنند:
a ∗ x = b y ∗ a = b
به بیان دیگر هر عنصر مجموعه دقیقاً در هر سطر و هر ستون از جدول ضرب کیلی شبه - گروه پدیدار شود. این خاصیت تضمین می کند که جدول کیلی یک شبه - گروه متناهی، به خصوص یک گروه متناهی، مربع لاتین خواهد بود. الزام به یکتا بودن را می توان با شرط حذف پذیر بودن ماگما ( یعنی ماگما خاصیت حذف شدن را داشته باشد ) جایگزین کرد. [ ۲]
جواب یکتای این معادلات به صورت x = a ∖ b و y = b / a نوشته می شوند. عملیات ∖ و / را به ترتیب تقسیم چپ و تقسیم راست می نامند.
مجموعه تهی که مجهز به عمل دوتایی تهی باشد، در این تعریف از شبه - گروه صدق می کند. برخی از مؤلفان شبه - گروه های تهی را به رسمیت می شناسند، ولی سایر مؤلفان به طور صریح آن ها را مستثنا می کنند. [ ۳] [ ۴]
↑ Smith, Jonathan D. H. ( 2007 ) . An introduction to quasigroups and their representations. Boca Raton, Fla. : Chapman & Hall/CRC. pp. 3, 26–27. ISBN 978 - 1 - 58488 - 537 - 5. ↑ H. Rubin; J. E. Rubin ( 1985 ) . Equivalents of the Axiom of Choice, II. Elsevier. p. 109. ↑ ( Pflugfelder 1990، ص. 2 ) ↑ ( Bruck 1971، ص. 1 )
wiki: شبه گروه