در ریاضیات، سری لوران یک تابع مختلط f ( z ) یک نمایش از آن تابع به صورت سری توانی است که شامل جملاتی از درجه منفی است. این سری می تواند برای نمایش توابع مختلط در حالتی که یک بسط سری تیلور نمی تواند به کار رود استفاده شود. سری لوران پس از اینکه توسط پیر آلفونس لوران در ۱۸۴۳ انتشار یافت، نامگذاری شد. ابتدا کارل وایرشتراس آن را در ۱۸۴۱ کشف کرد ولی منتشر نکرد. سری لوران برای تابع مختلط f ( z ) حول نقطه c به وسیله ی:
که an ثابتهایی هستند که با یک انتگرال خطی که یک کلیت از فرمول انتگرال کوشی است تعریف می شوند:
مسیر انتگرال گیری γ پادساعتگرد حول یک منحنی تصحیح پذیر بسته است که هیچ همپوشانی ندارد و c را در بر گرفته است و درون طوقهٔ A است که در آن f ( z ) هولومورفیک است. بسط f ( z ) در هر جای این طوقه معتبر خواهد بود. در عمل، این فرمول به ندرت استفاده می شود زیرا محاسبهٔ انتگرال ها مشکل است. به جای آن، سری لوران به وسیله آمیختن با بسط تیلور قطعه به قطعه سر هم می شود. اعداد an و c معمولاً عدد مختلط گرفته می شوند، اگرچه احتمالات دیگری نیز وجود دارد.
سری لوران با ضرایب مختلط ابزار مهمی در آنالیز مختلط است، مخصوصا برای تجسس رفتار تابع در نزدیکی نقاط تکین. برای نمونه تابع f ( x ) = e−1/x² با f ( 0 ) = 0 را در نظر بگیرید. به عنوان یک تابع حقیقی، همه جا بینهایت بار مشتق پذیر است. با این وجود به عنوان یک تابع مختلط در x = 0 با جایگزینی x با −1/x2 در سری توانی تابع نمایی سری لوران آن را می سازیم که همگراست و برابر f ( x ) است برای تمام اعداد مختلط x به جز در نقطه تکین x=0. به طور کلی تر سری لوران می تواند برای نمایش توابع هولومورفیک تعریف شده روی یک طوقه به کار رود، اگر چه سری توانی برای نمایش توابع هولومورفیک تعریف شده روی یک دیسک استفاده شود. فرض کنید
یک سری لوران با ضرایب مختلط an و مرکز مختلط c است. آنگاه یک شعاع داخلی منحصربفرد r و یک شعاع خارجی منحصربفرد R وجود دارد که:
• سری لوران روی طوقهٔ باز A := {z : r < |z − c| < R} همگراست. وقتی می گوییم سری لوران همگراست، یعنی هردو سری توانی با درجه مثبت و سری توانی با درجه منفی همگرایند. بعلاوه، این همگرایی روی مجموعه های فشرده یکشکل خواهد بود. نهایتا سری همگرا یک تابع هولومورفیک روی طوقهٔ باز تعریف می کند.
• خارج از طوقه، سری لوران واگراست. یعنی برای هر نقطه خارج A سری با درجه مثبت یا سری با درجه منفی واگراست.
• راجع به مرز طوقه، نمی توان اظهار نظر کرد.
این نوشته برگرفته از سایت ویکی پدیا می باشد، اگر نادرست یا توهین آمیز است، لطفا گزارش دهید: گزارش تخلفکه an ثابتهایی هستند که با یک انتگرال خطی که یک کلیت از فرمول انتگرال کوشی است تعریف می شوند:
مسیر انتگرال گیری γ پادساعتگرد حول یک منحنی تصحیح پذیر بسته است که هیچ همپوشانی ندارد و c را در بر گرفته است و درون طوقهٔ A است که در آن f ( z ) هولومورفیک است. بسط f ( z ) در هر جای این طوقه معتبر خواهد بود. در عمل، این فرمول به ندرت استفاده می شود زیرا محاسبهٔ انتگرال ها مشکل است. به جای آن، سری لوران به وسیله آمیختن با بسط تیلور قطعه به قطعه سر هم می شود. اعداد an و c معمولاً عدد مختلط گرفته می شوند، اگرچه احتمالات دیگری نیز وجود دارد.
سری لوران با ضرایب مختلط ابزار مهمی در آنالیز مختلط است، مخصوصا برای تجسس رفتار تابع در نزدیکی نقاط تکین. برای نمونه تابع f ( x ) = e−1/x² با f ( 0 ) = 0 را در نظر بگیرید. به عنوان یک تابع حقیقی، همه جا بینهایت بار مشتق پذیر است. با این وجود به عنوان یک تابع مختلط در x = 0 با جایگزینی x با −1/x2 در سری توانی تابع نمایی سری لوران آن را می سازیم که همگراست و برابر f ( x ) است برای تمام اعداد مختلط x به جز در نقطه تکین x=0. به طور کلی تر سری لوران می تواند برای نمایش توابع هولومورفیک تعریف شده روی یک طوقه به کار رود، اگر چه سری توانی برای نمایش توابع هولومورفیک تعریف شده روی یک دیسک استفاده شود. فرض کنید
یک سری لوران با ضرایب مختلط an و مرکز مختلط c است. آنگاه یک شعاع داخلی منحصربفرد r و یک شعاع خارجی منحصربفرد R وجود دارد که:
• سری لوران روی طوقهٔ باز A := {z : r < |z − c| < R} همگراست. وقتی می گوییم سری لوران همگراست، یعنی هردو سری توانی با درجه مثبت و سری توانی با درجه منفی همگرایند. بعلاوه، این همگرایی روی مجموعه های فشرده یکشکل خواهد بود. نهایتا سری همگرا یک تابع هولومورفیک روی طوقهٔ باز تعریف می کند.
• خارج از طوقه، سری لوران واگراست. یعنی برای هر نقطه خارج A سری با درجه مثبت یا سری با درجه منفی واگراست.
• راجع به مرز طوقه، نمی توان اظهار نظر کرد.
wiki: سری لوران