سری فوریه

سری فوریه بسطی است که هر تابع متناوب را به صورت حاصل جمع تعدادی نامتناهی از توابع نوسانی ساده ( سینوسی، کسینوسی یا تابع نمایی مختلط ) بیان می کند. این تابع به نام ریاضیدان بزرگ فرانسوی، ژوزف فوریه نامگذاری شده است. با بسط هر تابع به صورت سری فوریه، مولفه های بسامدی آن تابع به دست می آید.
توابع مورد استفاده در مهندسی و توابع نمایانگر سیگنال ها معمولاً توابعی از زمان هستند یا به عبارت دیگر توابعی که در میدان زمان تعریف شده اند. برای حل بسیاری از مسائل بهتر است که تابع در دامنه فرکانس تعریف شده باشد؛ زیرا این دامنه ویژگی هایی دارد که به راحتی محاسبات می انجامد.
فرض کنید که تابعی به شکل زیر تعریف شده است:
که در آن N یک عدد صحیح مثبت، A k دامنه، ω k بسامد و θ k فاز توابع کسینوسی می باشد. قابل مشاهده است که با در دست داشتن بسامدها ω 1 , ω 2 … ω N ، دامنه ها A 1 , A 2 … A N و فازها θ 1 , θ 2 … θ N تابع به طور کامل قابل تعریف است. توجه شود که بر اساس گفته های بالا تابع مستقل از زمان قابل تعریف است.
اگر f : R → C یک تابع متناوب با دوره تناوب T باشد ( یا به عبارتی: f ( t + T ) = f ( t ) ) آنگاه این تابع را می توان به صورت زیر نوشت:
که در آن ω n هارمونیک nام سری فوریه با رادیان بوده و ضرایب a n ، a 0 و b n را می توان از فرمول های اویلر بدست آورد. فوریه بر این باور بود که هرگونه تابع متناوب را می توان به صورت جمعی از توابع سینوسی نوشت. این مطلب درست نیست. شرایط لازم برای هر تابع متناوب برای اینکه به صورت سری فوریه نوشته شود به صورت زیر است:
• تابع در هر دورهٔ تناوبی انتگرال پذیر باشد:
• تابع فقط شمار محدودی بیشینه و کمینه داشته باشد.
• تابع فقط شمار محدودی ناپیوستگی داشته باشد.
سری فوریه می تواند به صورت زیر نیز نوشته شود:
و در اینجا:
این رابطه با کمک فرمول اویلر قابل گسترش به صورت زیر است:
اگر این رابطه را به طور مستقیم با نمایش مثلثی مقایسه کنیم مشاهده می شود که c n به طریق زیر نیز قابل محاسبه است:
نمایش زیر که در واقع شکل ویژه ای از نمایش مثلثی می باشد، نمایش کسینوس - با - فاز نام دارد. از این نمایش در رسم طیف خطی ( به انگلیسی: line spectra ) استفاده می شود.