زنجیره مارکوف جذب کننده

در نظریه احتمال، زنجیره مارکوف جذب کننده، زنجیره مارکوفی است که در آن هر حالت می تواند به یک حالت جاذب برسد. حالت جاذب حالتی است که پس از وارد شدن به آن نمی توان از آن خارج شد.
مثل زنجیره مارکف عمومی، می توان زنجیره مارکوف جاذب پیوسته زمان با فضای حالت نامحدود داشت. در این مقاله بر روی زمان گسسته فضای حالت گسسته متمرکز می شویم.
یک زنجیره مارکوف، جاذب است اگر[ ۱] [ ۲]
• حداقل یک حالت جاذب وجود داشته باشد و
• رفتن از هر حالتی به حداقل یکی از حالتهای جاذب در تعداد محدودی از مراحل ممکن باشد.
در یک زنجیره مارکوف جاذب، حالتی که جاذب نباشد گذرا ( حالت گذرا ) نامیده می شود.
فرض کنید که یک زنجیره مارکوف جاذب با ماتریس انتقال P دارای t حالت گذرا و r حالت جاذب باشد. سپس
که در آن Q ماتریسی t × t ، ماتریس R یک ماتریس غیرصفر t × r و 0 یک ماتریس صفر r × t و I r ماتریس همانی r × r باشد؛ بنابراین Q احتمال انتقال از یک حالت گذرا به حالت گذرای دیگر در حالی که R احتمال انتقال از حالت گذرا به حالت جاذب را توصیف می کند.
یک ویژگی اصلی در مورد یک زنجیره مارکوف جاذب تعداد مورد انتظار بازدیدهای حالت گذاری j با شروع از حالت گذرای i ( قبل از اینکه جذب شود ) است. احتمال انتقال از i به j در دقیقاً k مرحله عنصر ( i , j ) از ماتریس Q k است. جمع این آرایه برای تمام k ( از 0 تا ∞ ) ماتریس اساسی N را نشان خواهد داد. اثبات رابطه زیر ساده است:
که در آن I t ماتریس همانی t × t است. درایه ( i , j ) ماتریس N ، تعداد مورد انتظار دفعاتی است که زنجیره در حالت j خواهد بود با این شرط که از حالت i شروع شده باشد. با داشتن ماتریس N ، خواص دیگر زنجیره مارکوف را می توان راحت به دست آورد. [ ۲]
واریانس تعداد بازدیدهای حالت گذرای j با شروع از حالت گذرای i ( قبل از اینکه جذب شود ) درایه ( i , j ) ماتریس
است، که در آن N d g ماتریس قطری است با قطر مشابه ماتریس N و N s q حاصل ضرب هادامار N با خودش است ( یعنی هر درایه N مربع خواهد شد ) .
امید تعداد مراحل قبل از جذب با شروع از حالت گذرای i برابر است با t امین عنصر بردار
که 1 بردار ستونی با طول t است که تمام عناصرش ۱ می باشد.
واریانس تعداد مراحل قبل از جذب با شروع از حالت گذرای i برابر است با t امین عنصر بردار