روش بارهای تصویر

روش بارهای تصویری ( روش تصاویریا روش بارهای آینه ای ) یک ابزار پایه در حل مسایل الکتروستاتیک است. این نام برای این روش از آنجا سرچشمه می گیرد که ما در این روش عناصر خاصی را در ساختار اولیه مسئله، با بارهای تصویری که همان شرایط مرزی را تکرار می کنند، جایگزین می کنیم.
قضیه یکتایی بیان می کند که پاسخی از معادله لاپلاس که در شرایط مرزی صدق می کند، تنها پاسخی از این نوع است که وجود دارد. واین پاسخ به طور یکتا با شرایط مرزی تعیین می شود. برای بهتر روشن شدن مطلب، حلقه بسته ای را که یک ناحیه و سطح روی آن را مشخص می کند در نظر بگیریم. اگر داشته باشیم:
درون ناحیه ∇ 2 φ = f وروی سطح φ = g در این صورت φ ( x , y , z ) منحصربه فرد خواهد بود.
بیان دیگری از قضیه یکتایی به این صورت است که::دو پاسخ معادله لاپلاس که در شرایط مرزی یکسانی صدق کنند، یا با هم برابرند یا اختلافشان حداکثر یک عدد ثابت است.
مثال ساده ای برای روش بارهای تصویری همان مسئله بار نقطه ای در نزدیکی صفحه رساناست. بار نقطه ای q را به فاصله a از صفحه رسانای نامتناهی متصل به زمین در نظر بگیرید. می خواهیم بدانیم پتانسیل در بالای صفحه چقدر است. به علت القای بار الکتریکی توسط q روی صفحه، پتانسیل تنها پتانسیل ناشی از بار نقطه ای نخواهد بود. شرایط مرزی از این قرارند: در z=0 داریم φ = 0 ( صفحه رسانا به زمین متصل شده است. ) وبرای نقاط دور φ = 0 قضیه یکتایی تضمین می کند که اگر ما با هر شگردی پاسخی یافتیم که در شرایط مرزی صدق کرد، این تنها پاسخ موجود و جواب مورد نظر ما خواهد بود. حالا دو بار نقطه ای q , q - را در مختصات z=a و z= - a قرار می دهیم و صفحه رسانا را حذف می کنیم. پتانسیل حاصل از این پیکر بندی در مختصات استوانه ای به این شکل است:
که در z=0 و برای نقاط دور مقدار این پتانسیل صفر خواهد بود که این دقیقاً همان شرایط مرزی مورد نظر ماست. پس پیکر بندی جدید برای z> 0 دارای پتانسیل پیکربندی نخست است.
چگالی بار سطحی روی سطح رسانا از رابطه
σ = − ϵ 0 ∂ V ∂ z | z = 0
در می آید.
حالا کل بار القایی روی سطح انتگرال تابع σ خواهد بود. این انتگرال گیری در مختصات کروی یا استوانه ای راحت تر خواهد بود. در مختصات استوانه ای داریم:
x 2 + y 2 = ρ 2