در ریاضیات، دستگاه معادلات خطی به معنی مجموعه ای از تعدادی معادلهٔ خطی است. [ ۱] برای مثال:
{ 3 x + 2 y − z = 2 2 x − 2 y + 4 z = − 2 − x − z = 0
یک دستگاه از ۳ معادلهٔ خطی با ۳ مجهول x , y , z است.
جواب یک دستگاه خطی به معنی مقداردهی به هر مجهول است به طوری که با جایگذاری آنها معادلات دستگاه برقرار باشند. جواب مثال مذکور x = 0 , y = 1 , z = 0 است. جواب یک دستگاه ممکن است یکتا نباشد یا ممکن است جوابی وجود نداشته باشد.
این مفهوم پایه و اساس جبر خطی است و نقش مهمی در مهندسی، فیزیک، شیمی، علوم کامپیوتر و اقتصاد دارد. الگوریتم های پیدا کردن جواب این دستگاه ها بخش مهمی از جبر خطی عددی است. برای سادگی حل سامانه های پیچیده، می توان دستگاهی از معادلات غیرخطی را با خطی سازی به یک دستگاه معادلهٔ خطی تقریب زد. [ ۲]
جواب یک دستگاه معادلات خطی لزوماً یکتا نیست. به عنوان مثال { x = y x = z بی شمار جواب مثل x = y = z = 1 یا x = y = z = 2 و … دارد. به مجموعهٔ همهٔ جواب های ممکن یک دستگاه مجموعه جواب آن می گوییم. مجموعه جواب یک دستگاه ممکن است بی شمار یا تهی یا یکتا باشد. [ ۱] در صورتی که جوابی وجود نداشته باشد دستگاه را متناقض می نامیم.
اگر دو دستگاه مجموعه جواب یکسانی داشته باشند آن دو را معادل می گوییم. مثال:
دستگاه { x = y x = z با { x = y 2 x = 2 z معادل است.
در یک دستگاه دو مجهولی x , y ، هر معادله یک معادلهٔ خط در صفحه است. جواب یک دستگاه در تمام معادلات صدق می کند؛ یعنی جواب یک دستگاه نقطهٔ تقاطع این خطوط در صفحه است. [ ۱]
در دستگاهی با سه مجهول، هر معادله یک معادله صفحه در فضای سه بعدی است.
تقاطع چند صفحه در فضا می تواند یک خط یا نقطه یا صفحه باشد. همچنین ممکن است نقطهٔ تقاطع مشترکی وجود نداشته باشد.
این تعبیر را می توان برای فضای n - بعدی نیز انجام داد ( و در آن هر معادله معادلهٔ یک ابرصفحه خواهد بود ) .
در نتیجه یک دستگاه n معادله n مجهولی در حالت کلی جواب یکتا دارد. در صورتی که معادلات نسبت به هم وابسته باشند ( حالت خاص ) بی شمار جواب وجود خواهد داشت.
همچنین اگر تعداد معادلات بیشتر بود در حالت کلی جواب وجود ندارد و اگر کمتر بود بی شمار جواب وجود دارد.
در حالت کلی دستگاه با مجهول های x 1 , x 2 , … , x n و ضرایب a 11 , a 12 , … , a m n را می توان به فرم زیر نشان داد:
این نوشته برگرفته از سایت ویکی پدیا می باشد، اگر نادرست یا توهین آمیز است، لطفا گزارش دهید: گزارش تخلف{ 3 x + 2 y − z = 2 2 x − 2 y + 4 z = − 2 − x − z = 0
یک دستگاه از ۳ معادلهٔ خطی با ۳ مجهول x , y , z است.
جواب یک دستگاه خطی به معنی مقداردهی به هر مجهول است به طوری که با جایگذاری آنها معادلات دستگاه برقرار باشند. جواب مثال مذکور x = 0 , y = 1 , z = 0 است. جواب یک دستگاه ممکن است یکتا نباشد یا ممکن است جوابی وجود نداشته باشد.
این مفهوم پایه و اساس جبر خطی است و نقش مهمی در مهندسی، فیزیک، شیمی، علوم کامپیوتر و اقتصاد دارد. الگوریتم های پیدا کردن جواب این دستگاه ها بخش مهمی از جبر خطی عددی است. برای سادگی حل سامانه های پیچیده، می توان دستگاهی از معادلات غیرخطی را با خطی سازی به یک دستگاه معادلهٔ خطی تقریب زد. [ ۲]
جواب یک دستگاه معادلات خطی لزوماً یکتا نیست. به عنوان مثال { x = y x = z بی شمار جواب مثل x = y = z = 1 یا x = y = z = 2 و … دارد. به مجموعهٔ همهٔ جواب های ممکن یک دستگاه مجموعه جواب آن می گوییم. مجموعه جواب یک دستگاه ممکن است بی شمار یا تهی یا یکتا باشد. [ ۱] در صورتی که جوابی وجود نداشته باشد دستگاه را متناقض می نامیم.
اگر دو دستگاه مجموعه جواب یکسانی داشته باشند آن دو را معادل می گوییم. مثال:
دستگاه { x = y x = z با { x = y 2 x = 2 z معادل است.
در یک دستگاه دو مجهولی x , y ، هر معادله یک معادلهٔ خط در صفحه است. جواب یک دستگاه در تمام معادلات صدق می کند؛ یعنی جواب یک دستگاه نقطهٔ تقاطع این خطوط در صفحه است. [ ۱]
در دستگاهی با سه مجهول، هر معادله یک معادله صفحه در فضای سه بعدی است.
تقاطع چند صفحه در فضا می تواند یک خط یا نقطه یا صفحه باشد. همچنین ممکن است نقطهٔ تقاطع مشترکی وجود نداشته باشد.
این تعبیر را می توان برای فضای n - بعدی نیز انجام داد ( و در آن هر معادله معادلهٔ یک ابرصفحه خواهد بود ) .
در نتیجه یک دستگاه n معادله n مجهولی در حالت کلی جواب یکتا دارد. در صورتی که معادلات نسبت به هم وابسته باشند ( حالت خاص ) بی شمار جواب وجود خواهد داشت.
همچنین اگر تعداد معادلات بیشتر بود در حالت کلی جواب وجود ندارد و اگر کمتر بود بی شمار جواب وجود دارد.
در حالت کلی دستگاه با مجهول های x 1 , x 2 , … , x n و ضرایب a 11 , a 12 , … , a m n را می توان به فرم زیر نشان داد:
wiki: دستگاه معادلات خطی