خم پئانو

در هندسه، خم پئانو اولین خم فضا پرکن است که جوزپه پئانو در سال ۱۸۹۰ آن را کشف کرد. [ ۱] این خم تابعی پوشا و پیوسته از بازهٔ واحد به توی مربع واحد است. البته این تابع یک به یک نیست. پئانو ساخت این منحنی را از نتیجهٔ اولیه کانتور الهام گرفت مبنی بر اینکه دو مجموعهٔ مربع واحد و بازهٔ واحد، کاردینالیتی یکسانی دارند. به خاطر این نمونه، برخی نویسندگان از عبارت «خم پئانو» برای اشاره به هر منحنی فضا پرکنی استفاده می کنند. [ ۲]
خم پیانو را می توان با طی کردن مراحلی ساخت، که در مرحلهٔ iام مجموعه ای از مربع ها به نام Si و مجموعه ای از مرکز مربع ها به نام Pi ساخته می شود. برای شروع، S0 از مربع واحد تشکیل شده است، و P0 فقط شامل یک عضو یعنی مرکز آن است.
در مرحلهٔ i ام هر مربعِ مجموعهٔ Si− 1 به نُه مربع کوچکتر برابر افراز می شود، و مرکز آن مربع با تعدادی نقطه که مراکز نُه مربع جدید هستند جایگزین می شود. این توالی با گروه بندی نُه مربع به سه ستون، مرتب کردن مراکز در هر ستون و سپس مرتب کردن ستون ها از ضلع مربع به ضلع دیگر، به گونه ای که فاصله بین هر جفت متوالی از نقاط برابر با طول ضلع مربع های کوچک شود. چهار دستور العمل برای گذشتن از مرکز مربع ها وجود دارد:
• از سمت چپ سه مرکز از پایین به بالا، وسط سه مرکز از بالا به پایین و سمت راست سه مرکز از پایین به بالا
• از سمت راست سه مرکز از پایین به بالا، وسط سه مرکز از بالا به پایین و سمت چپ سه مرکز از پایین به بالا
• از سمت چپ سه مرکز از بالا به پایین در وسط سه مرکز از پایین به بالا و از سمت راست سه مرکز از بالا به پایین
• از سمت راست سه مرکز از بالا به پایین در وسط سه مرکز از پایین به بالا و سمت چپ سه مرکز از بالا به پایین
از میان این چهار دستور العمل، آن یکی که برای مربع مورد نظر انتخاب می شود طوریست که فاصله بین نقطه اول در دستور العمل و ماقبل آن در Pi نیز با طول ضلع مربع های کوچک برابر شود. اگر c اولین نقطه در دستور العمل آن باشد، آنگاه اولین دستور العمل از چهار مورد بالا برای عبور از نُه مرکز جایگزین c انتخاب می شود. [ ۳]
منحنی پئانو حد خم گذرنده از مرکز مربع ها است، وقتی i به بی نهایت میل کند.
در تعریف منحنی پئانو می توان برای اجرای برخی از مراحل به جای هر ستون مربع با مراکز هر ردیف سه مربع انجام داد. این تفاوت در انتخاب ها انواع مختلفی خم پئانو ایجاد می کند. [ ۳]