توپولوژی

در ریاضیات، توپولوژی ( به انگلیسی: Topology ) ، از واژۀ یونانی τόπος، به معنای «جا»، «مکان»، و λόγος به معنای «شناسایی»، «مطالعه» و در مجموع به معنی «جای شناسی» یا «مکان شناسی» است. در پرندگان و جانوران به شناخت نام هر بخش از بدن به طور دقیق و جزئی، شناخت یا نام گذاری «بخش های مختلف بدن»[ ۱] گفته می شود. در ریاضی، به خواص هندسی اشیاء مربوط می شود که تحت تغییر شکل های پیوسته چون کشیدگی، پیچش، مچاله کردن و خم کردن حفظ شده، اما تحت پارگی یا چسباندن حفظ نمی شوند.
یک فضای توپولوژی مجموعه ای مجهز به ساختاری است که به آن، توپولوژی می گویند. این ساختار، امکان تعریف تغییر شکل های پیوسته از زیر فضاها را داده و به طور کلی تر، امکان تعریف تمام انواع پیوستگی را به ما می دهد. فضاهای اقلیدسی و به طور کلی تر فضاهای متری مثال هایی از فضای توپولوژی اند.
تغییر شکل هایی که در توپولوژی مد نظر قرار می گیرند شامل همسان ریختی و هموتوپی می شود. خاصیتی که تحت چنین تغییر شکل هایی پایا می ماند را خاصیت توپولوژی گویند؛ مثال های مقدماتی چنین خواصی شامل این موارد می شود: بُعد، که امکان تمایز بین خط و سطح را می دهد؛ فشردگی، که امکان تمایز بین خط و یک دایره را می دهد؛ هم بندی که امکان تمایز بین یک دایره و دو دایره مجزا را می دهد.
ایده های پشت توپولوژی به زمان گوتفرید لایبنیز بر می گردد، او در قرن هفدهم میلادی ایده هایش در این زمینه را در قالب اصطلاحاتی چون geometria situs و analysis situs تصویرسازی ذهنی کرد. مسئله هفت پل کونیگسبرگ و فرمول های چند وجهی لئونارد اویلر را می توان با وجود عدم توافق کامل به عنوان اولین قضایای این حوزه از ریاضیات برشمرد. اصطلاح توپولوژی اولین بار توسط یوهان بندیکت لیستینگ در قرن نوزدهم میلادی معرفی شد، گرچه که تا دهه اول قرن بیستم، ایده یک فضای توپولوژی توسعه پیدا نکرد.
دیدگاه انگیزه بخش پشت توپولوژی، شامل برخی از مسائل هندسی می شوند که به شکل دقیق اشیاء مربوط وابسته نبوده، بلکه به شیوه ای که کنار یکدیگر چیده شده تا آن شیء به وجود آید مربوط می شود. برای مثال، مربع و دایره، دارای خواص مشترک زیادی هستند: هر دو، اشیای یک بُعدی اند ( از دیدگاه توپولوژی ) و هر دو صفحه را به دو بخش، تفکیک می کنند: بخش درونی و بخش بیرونی.
لئونارد اویلر در یکی از اولین مقالات توپولوژی اثبات کرد که یافتن مسیری از شهر کونیگسبرگ ( اکنون این شهر به کالینینگراد معروف است ) که از هر هفت پل آن دقیقاً یک بار عبور کند غیرممکن است. این نتیجه به طول پل ها یا مسافتشان از یکدیگر وابسته نبود؛ بلکه صرفاً به خواص اتصالی شان مربوط می شد؛ اینکه چه پلی به کدام جزیره یا کدام ساحل رودخانه، وصل باشد. مسئله هفت پل کونیگسبرگ، باعث ایجاد شاخه ای از ریاضیات به نام نظریه گراف ها شد.

توپولوژی (topology)
نوار موبیوس
شاخه ای از ریاضیات، برای بررسی ویژگی هایی از شکل های هندسی که اگر شکل را با کشیدن، خم کردن، فشردن، و اعمالی از این قبیل به شکل دیگری تبدیل کنیم، آن ویژگی ها تغییر نمی کنند. به بیان دقیق تر، علم بررسی ویژگی هایی که تحت تبدیل توپولوژیک یا همسان ریختی ثابت می مانند. مثال ساده از مسائل توپولوژی نوار موبیوس است. اگر نواری را یک بار بپیچانیم و دو سرآن را به هم وصل کنیم، پشت و روی آن که دو رویه دارد تبدیل به یک رویه می شود. تبدیل توپولوژیک تناظری دوسویی و در دو جهت پیوسته بین نقاط شکل اصلی و شکلِ تبدیل شده است. منظور از تناظر دوسوییاین است که هر نقطه از شکل اصلی فقط با یک نقطه از شکل تبدیل شده متناظر است و به عکس. منظور از پیوستگی در دو جهت این است که اگر دو نقطۀ دلخواهr وq از شکل اصلی و نقاط متناظر آن ها 'r و'q را از شکل تبدیل یافته درنظر بگیریم و rرا تغییر مکان دهیم تا به q میل کند، 'rنیز به 'q میل خواهد کرد. اگر شکلی تحت تبدیل توپولوژیک به شکل دیگری تبدیل شود، آن دو شکل را همسان ریخت می نامند و می گویند ویژگی های توپولوژیک آن ها یکی است یا از لحاظ توپولوژی با هم معادل اند. مثلاً اگر دایره ای از لاستیک را تصور کنیم و آن را بکشیم یا جمع کنیم بدون آن که پاره شود یا دو نقطۀ آن روی هم بیفتد، می توانیم آن را به شکل های گوناگونی ازقبیل بیضی، مربع، و مثلث درآوریم. همۀ این شکل ها با دایره همسان ریخت اند. اما اگر دایره را در نقطه ای ببریم و آن را بکشیم تا به صورت خط راست درآید، این تبدیل از نوع توپولوژیک نیست، زیرا دو سویی نیست و نقطۀ برش با دو نقطۀ انتهایی پاره خط متناظر می شود، حال آن که هر نقطه از شکل اصلی باید فقط با یک نقطه از شکل تبدیل یافته متناظر شود. در مثال فوق، تبدیل پیوسته هم نیست. همچنین، می توان کره را با این تبدیل به صورت مکعب درآورد، امّا نمی توان آن را به صورت چنبره ای درآورد که در وسطش سوراخی باشد. تبدیل توپولوژیک ابعاد و زوایا را در حالت کلی تغییر می دهد، ولی بعضی از خواص را، که ویژگی های توپولوژیک اند، ثابت نگه می دارد. موضوع علم توپولوژی بررسی این ویژگی ها در شکل های هندسی، و به طور کلی مجموعه های نقاط است. مسئلۀ معروف به قضیۀ چهاررنگ، که در حوالی ۱۸۸۰ مطرح شد، نمونه ای از مسائل توپولوژیک است. طبق این قضیه، برای رنگ آمیزی نقشۀ جغرافیایی، به طوری که هر دو کشورِ دارای مرز مشترک با رنگ های متمایز نشان داده شوند، چهار رنگ کافی است. این مسئله را پس از تلاش های ناموفقِ بسیار، سرانجام کِنِت اَپِل و ولفگانگ هاکن در ۱۹۷۲ با رایانه حل کردند. نقشه های مترو و شبکۀ راه ها که فقط نحوۀ اتصال راه ها، و نه شکل و اندازۀ آن ها را نشان می دهند، نمونه ای از نمایش توپولوژیک شبکه هاست. در حل مسئلۀ پل کونیگسبرگ هم، که اویلر در آن جزیره ها را با نقطه و پل ها را با خط نشان داده، درواقع از نگرش توپولوژیک استفاده شده است. توپولوژی کاربردهای علمی مهمی، ازجمله در مطالعۀ تلاطم جریان سیالات، دارد. توپولوژی از رشته های نسبتاً جدید ریاضیات است و عمدتاً در قرن های ۱۹ و ۲۰ شکل گرفته است. ریشه های اولیۀ آن عبارت اند از تحقیق گئورک کانتور دربارۀ مجموعه های نقاط، تحقیق کارل وایرشتراس در زمینۀ مفهوم حد تابع، تحقیق کیرشهوف دربارۀ شبکه های برق، و استفادۀ برنهارد ریمان از اصول توپولوژی در تحقیقاتش راجع به رابطۀ سطوح و تابع. تکوین توپولوژی به صورت شاخه ای علمی عمدتاً در قرن ۲۰ و با تحقیقات هانری پوانکاره صورت گرفت.