یک توزیع توانی ( به انگلیسی: Power law ) در علم آمار، نوعی رابطه تابعی بین دو کمیت است، که در این رابطه یک تغییر نسبی در یک کمیت، منجر به تغییر مرتبط متناسب در کمیت دیگر می شود؛ و این موضوع به سایز اولیه کمیت ها وابستگی ندارد: یک کمیت به صورت توانی از دیگری تغییر می کند. مثلاً مساحت یک مربع از دیدگاه طول ضلع آن را در نظر بگیرید، اگر طول دو برابر شود، مساحت در یک فاکتور چهار ضرب می شود. [ ۱]
یکی از ویژگی های توزیع توانی مسقل بودن از مقیاس است. اگر رابطه f ( x ) = a x − k را داشته باشیم و آرگومان ( شناسه ) x را توسط فاکتور ثابت c مقیاس دهی کنیم، تنها سبب یک مقیاس دهی متناسب برای خود تابع می شود، یعنی
f ( c x ) = a ( c x ) − k = c − k f ( x ) ∝ f ( x ) ,
در اینجا علامت ∝ نشان دهنده تناسب مستقیم است. یعنی مقیاس دهی با یک ثابت c، به سادگی رابطه توانی اصلی را در یک ثابت c − k ضرب می کند؛ بنابراین این موضوع به معنی آن است که هر توزیع توانی با یک نمای مقیاس مشخص، از طریق فاکتورهای ثابت، با هم معادل اند، زیرا هر کدام به سادگی یک ورژن مقیاس دهی شده از دیگری هستند. این رفتار همان چیزی است که موقعی که از هر دو x و f ( x ) لگاریتم گرفته شود، یک «رابطه خطی» را می سازد: به خط مستقیم در نمودار log - log معمولاً «امضا» ی یک رابطه توانی می گویند. اگر با داده های واقعی کار کنیم، این مستقیم بودن لازم است، اما یک شرط کافی برای داده هایی که از رابطه توانی پیروی می کنند، نیست. در واقع راه های زیادی برای ایجاد داده های محدود وجود دارد، که از این رفتار امضایی تقلید می کنند، اما، در حد مجانبی شان، یک توانیی صحیح نیستند ( مثلا موقعی فرایند ایجاد داده از توزیع لگاریتمی نرمال پیروی می کند ) . بنابراین تناسب و درستی سنجی دقیق مدل های توانی، یک زمینهٔ پژوهشی فعال در علم آمار است.
یک متغیر توانی x − k ، فقط وقتی یک میانگین خوش - تعریف روی x ∈ [ 1 , ∞ ) دارد که k > 2 باشد و فقط وقتی واریانس محدود دارد که k > 3 باشد. بیشتر توزیع های توانی در طبیعت، نماهایی دارند که میانگین آن ها خوش تعریف است، ولی واریانس آن ها خوش تعریف نیست، و این به معنی آن است که پتانسیل رفتار قوی سیاه را دارند. [ ۲] این موضوع در این آزمایش قابل مشاهده است:[ ۳] اتاقی را با تعدادی از دوستانتان در نظر بگیرید، و فرض کنید می خواهیم، درآمد ماهیانه میانگین در اتاق را تخمین بزنید. حال فرض کنید که پولدارترین فرد جهان با درآمد ماهیانه تقریباً ۱ بیلیون دلار آمریکا به اتاق وارد شود. در مورد درآمد میانگین در اتاق چه رخ می دهد؟ در اینجا درآمد بر اساس یک توزیع توانی که توزیع پارتو نامیده می شود، توزیع شده است ( مثلا، در واقعیت هم ثروت شبکه ای آمریکایی ها براساس توزیع توانی با نمای ۲ توزیع شده است ) .
این نوشته برگرفته از سایت ویکی پدیا می باشد، اگر نادرست یا توهین آمیز است، لطفا گزارش دهید: گزارش تخلفیکی از ویژگی های توزیع توانی مسقل بودن از مقیاس است. اگر رابطه f ( x ) = a x − k را داشته باشیم و آرگومان ( شناسه ) x را توسط فاکتور ثابت c مقیاس دهی کنیم، تنها سبب یک مقیاس دهی متناسب برای خود تابع می شود، یعنی
f ( c x ) = a ( c x ) − k = c − k f ( x ) ∝ f ( x ) ,
در اینجا علامت ∝ نشان دهنده تناسب مستقیم است. یعنی مقیاس دهی با یک ثابت c، به سادگی رابطه توانی اصلی را در یک ثابت c − k ضرب می کند؛ بنابراین این موضوع به معنی آن است که هر توزیع توانی با یک نمای مقیاس مشخص، از طریق فاکتورهای ثابت، با هم معادل اند، زیرا هر کدام به سادگی یک ورژن مقیاس دهی شده از دیگری هستند. این رفتار همان چیزی است که موقعی که از هر دو x و f ( x ) لگاریتم گرفته شود، یک «رابطه خطی» را می سازد: به خط مستقیم در نمودار log - log معمولاً «امضا» ی یک رابطه توانی می گویند. اگر با داده های واقعی کار کنیم، این مستقیم بودن لازم است، اما یک شرط کافی برای داده هایی که از رابطه توانی پیروی می کنند، نیست. در واقع راه های زیادی برای ایجاد داده های محدود وجود دارد، که از این رفتار امضایی تقلید می کنند، اما، در حد مجانبی شان، یک توانیی صحیح نیستند ( مثلا موقعی فرایند ایجاد داده از توزیع لگاریتمی نرمال پیروی می کند ) . بنابراین تناسب و درستی سنجی دقیق مدل های توانی، یک زمینهٔ پژوهشی فعال در علم آمار است.
یک متغیر توانی x − k ، فقط وقتی یک میانگین خوش - تعریف روی x ∈ [ 1 , ∞ ) دارد که k > 2 باشد و فقط وقتی واریانس محدود دارد که k > 3 باشد. بیشتر توزیع های توانی در طبیعت، نماهایی دارند که میانگین آن ها خوش تعریف است، ولی واریانس آن ها خوش تعریف نیست، و این به معنی آن است که پتانسیل رفتار قوی سیاه را دارند. [ ۲] این موضوع در این آزمایش قابل مشاهده است:[ ۳] اتاقی را با تعدادی از دوستانتان در نظر بگیرید، و فرض کنید می خواهیم، درآمد ماهیانه میانگین در اتاق را تخمین بزنید. حال فرض کنید که پولدارترین فرد جهان با درآمد ماهیانه تقریباً ۱ بیلیون دلار آمریکا به اتاق وارد شود. در مورد درآمد میانگین در اتاق چه رخ می دهد؟ در اینجا درآمد بر اساس یک توزیع توانی که توزیع پارتو نامیده می شود، توزیع شده است ( مثلا، در واقعیت هم ثروت شبکه ای آمریکایی ها براساس توزیع توانی با نمای ۲ توزیع شده است ) .
wiki: توزیع توانی