در نظریه احتمال و آمار تابع توزیع احتمال بیانگر احتمال هر یک از مقادیر متغیر تصادفی ( در مورد متغیر گسسته ) یا احتمال قرار گرفتن متغیر در یک بازه مشخص ( در مورد متغیر تصادفی پیوسته ) میباشد. توزیع تجمعی احتمال یک متغیر تصادفی تابعی است از دامنهٔ آن متغیر بر بازهٔ . به طوری که احتمال رخدادن پیشامدهای با مقدار عددی کمتر از آن را نمایش می دهد. و به صورت دقیق به شکل زیر تعریف می شود:
بر اساس این که این متغیر گسسته یا پیوسته باشد توزیع گسسته یا پیوسته نام می گیرد.
• همواره داریم: F X ( + ∞ ) = 1 {\displaystyle F_{X} ( +\infty ) =1} و F X ( − ∞ ) = 0 {\displaystyle F_{X} ( - \infty ) =0}
• تابع توزیع تجمعی غیر نزولی ست، یعنی: x 1 ≤ x 2 ⇒ F X ( x 1 ) ≤ F X ( x 2 ) {\displaystyle x_{1}\leq x_{2}\Rightarrow F_{X} ( x_{1} ) \leq F_{X} ( x_{2} ) }
• تابع توزیع همواره از راست پیوسته است: lim x → a + F ( x ) = F ( a ) {\displaystyle \lim _{x\rightarrow a^{+}}F ( x ) =F ( a ) }
اگر تابع توزیع تجمعی پیوسته باشد مشتق ان برابر تابع چگالی متغیر مورد بررسی است و اگر تابع توزیع گسسته باشد مشتق ان برابر تابع احتمال متغیر مورد بررسی است. [ ۱]
پیشینهٔ نظریهٔ احتمال، به قرن هفدهم میلادی و مطالعات بلیز پاسکال روی اعداد ظاهر شده بر تاس ها برمی گردد. پس از او لاپلاس، احتمال را به صورت نسبت پیشامدهای مطلوب به کل پیشامدها تعریف کرد. برای مثال احتمال آمدن عدد زوج، هنگام انداختن یک تاس سالم، برابر است با ۳ ( یعنی تعداد حالت هایی که ممکن است عدد زوج بیاید یا به تعبیر دیگر ۲، ۴ یا ۶ ظاهر شود ) بخش بر ۶ ( یعنی کل حالت هایی که ممکن است با انداختن تاس ظاهر شود یا به تعبیر دیگر آمدن ۱، ۲، ۳، ۴، ۵ یا ۶ ) که برابر می شود با 3 6 یا 1 2 .
برای ادامهٔ بحث، لازم است که ابتدا چند واژه را تعریف کنیم:
اگر فضای نمونهٔ ما هم شانس و دارای تعداد اعضای متناهی باشد، برای محاسبهٔ احتمال وقوع یک پیشامد، فرمول لاپلاس را به کار می گیریم.
یا به عبارت دیگر، احتمال وقوع یک پیشامد برابر است با نسبت اندازهٔ پیشامد به اندازهٔ فضای نمونه. برای مثال اگر آزمایش انداختن تاس سالم را در نظر بگیریم که دارای فضای نمونهٔ هم شانس با اندازهٔ متناهی است، با توجه به آنچه پیش تر گفته شد، احتمال آمدن عدد ۶، برابر است با اندازه پیشامد ( یعنی اندازهٔ { 6 } که ۱ است ) بخش بر اندازهٔ فضای نمونه ( یعنی اندازهٔ که ۶ است ) . به این ترتیب احتمال آمدن عدد ۶، برابر با 1 6 محاسبه می شود.
این نوشته برگرفته از سایت ویکی پدیا می باشد، اگر نادرست یا توهین آمیز است، لطفا گزارش دهید: گزارش تخلفبر اساس این که این متغیر گسسته یا پیوسته باشد توزیع گسسته یا پیوسته نام می گیرد.
• همواره داریم: F X ( + ∞ ) = 1 {\displaystyle F_{X} ( +\infty ) =1} و F X ( − ∞ ) = 0 {\displaystyle F_{X} ( - \infty ) =0}
• تابع توزیع تجمعی غیر نزولی ست، یعنی: x 1 ≤ x 2 ⇒ F X ( x 1 ) ≤ F X ( x 2 ) {\displaystyle x_{1}\leq x_{2}\Rightarrow F_{X} ( x_{1} ) \leq F_{X} ( x_{2} ) }
• تابع توزیع همواره از راست پیوسته است: lim x → a + F ( x ) = F ( a ) {\displaystyle \lim _{x\rightarrow a^{+}}F ( x ) =F ( a ) }
اگر تابع توزیع تجمعی پیوسته باشد مشتق ان برابر تابع چگالی متغیر مورد بررسی است و اگر تابع توزیع گسسته باشد مشتق ان برابر تابع احتمال متغیر مورد بررسی است. [ ۱]
پیشینهٔ نظریهٔ احتمال، به قرن هفدهم میلادی و مطالعات بلیز پاسکال روی اعداد ظاهر شده بر تاس ها برمی گردد. پس از او لاپلاس، احتمال را به صورت نسبت پیشامدهای مطلوب به کل پیشامدها تعریف کرد. برای مثال احتمال آمدن عدد زوج، هنگام انداختن یک تاس سالم، برابر است با ۳ ( یعنی تعداد حالت هایی که ممکن است عدد زوج بیاید یا به تعبیر دیگر ۲، ۴ یا ۶ ظاهر شود ) بخش بر ۶ ( یعنی کل حالت هایی که ممکن است با انداختن تاس ظاهر شود یا به تعبیر دیگر آمدن ۱، ۲، ۳، ۴، ۵ یا ۶ ) که برابر می شود با 3 6 یا 1 2 .
برای ادامهٔ بحث، لازم است که ابتدا چند واژه را تعریف کنیم:
اگر فضای نمونهٔ ما هم شانس و دارای تعداد اعضای متناهی باشد، برای محاسبهٔ احتمال وقوع یک پیشامد، فرمول لاپلاس را به کار می گیریم.
یا به عبارت دیگر، احتمال وقوع یک پیشامد برابر است با نسبت اندازهٔ پیشامد به اندازهٔ فضای نمونه. برای مثال اگر آزمایش انداختن تاس سالم را در نظر بگیریم که دارای فضای نمونهٔ هم شانس با اندازهٔ متناهی است، با توجه به آنچه پیش تر گفته شد، احتمال آمدن عدد ۶، برابر است با اندازه پیشامد ( یعنی اندازهٔ { 6 } که ۱ است ) بخش بر اندازهٔ فضای نمونه ( یعنی اندازهٔ که ۶ است ) . به این ترتیب احتمال آمدن عدد ۶، برابر با 1 6 محاسبه می شود.
wiki: توزیع احتمال