توابع تکین

توابع تکین دسته ای از توابع ناپیوسته هستند که دارای نقاط تکین هستند. به این معنا که مثلاً در این نقاط تکین ناپیوسته هستند. توابع تکین در علم ریاضیات با عناوینی همچون توابع تعمیم یافته و تئوری توزیع، به طور گسترده ای مورد مطالعه قرار گرفته اند. [ ۱] [ ۲] [ ۳] این توابع با علامت براکت ⟨ ⟩ نمایش داده می شوند.
مثلاً می نویسیم ⟨ x − a ⟩ n به طوری که n یک عدد صحیح است. نماد ⟨ ⟩ به نام براکت های تکین شناخته می شوند. این توابع به صورت زیر تعریف می شوند:
به طوری که δ ( x ) ، تابع دلتای دیراک یا همان ضربه واحد ( تابع ضربه ) است. مشتق اول تابع δ ( x ) تابع واحد مضاعف نامیده می شود. تابع H ( x ) تابع هوی ساید پله واحد است:
H ( x ) = { 0 , x < 0 1 , x > 0
از آنجا که مقدار یک نقطه در انتگرال گیری تأثیر ندارد، مقدار تابع هوی ساید در صفر قراردادی است. همچنین ⟨ x − a ⟩ 1 تابع شیب نیز نامیده می شود.
انتگرال گیری از ⟨ x − a ⟩ n همواره می تواند به گونه ای انجام شود که یکی از ثابت های انتگرال در خود عبارت گنجانیده شود که در نتیجه آن در x = a حاصل برابر 0 شود.
∫ ⟨ x − a ⟩ n d x = { ⟨ x − a ⟩ n + 1 , n ≤ 0 ⟨ x − a ⟩ n + 1 n + 1 , n ≥ 0
خیز یک تیر با تکیه گاه ساده با سطح مقطع و مدول الاستیسیته ثابت همان طور که در شکل نشان داده شده، با استفاده از تئوری تیر اویلر – برنولی قابل محاسبه است. در این جا از قراردادی برای علامت استفاده می کنیم که طبق آن نیروهای رو به پایین و گشتاور شکم دهنده مثبت اند.
توزیع بار:
نیروی برشی:
گشتاور خمشی:
شیب:
خیز:
شرط مرزی u = 0 در x = 4 m کمک می کند تا c را به دست بیاوریم c = − 7 N m 2 .