تبدیل لاپلاس ( به انگلیسی: Laplace transform ) در ریاضیات یک تبدیل انتگرالی است که بسیار پرکاربرد است. تبدیل لاپلاس با نماد L { f ( t ) } در واقع عملگری خطی از تابع ( f ( t با آرگومان حقیقی ( t ( t ≥ ۰ به تابع ( F ( s با آرگومان مختلط s است. در بسیاری از کاربردهای عملی، این تبدیل به صورت دوسویه عمل می کند. ویژگی مهم این تبدیل آن است که بسیاری از رابطه ها و تغییراتی که بر روی تابع اصلی ( f ( t برقرار هستند، در تبدیل یافتهٔ آن ( F ( s نیز با رابطه ای ساده و منطقی برقرار اند. [ ۱]
این تبدیل به افتخار پیر لاپلاس یعنی کسی که آن را در یکی از کارهایش بر روی نظریهٔ احتمالات معرفی کرده بود، تبدیل لاپلاس گذاشته شده است.
تبدیل لاپلاس شبیه به تبدیل یا تبدیل فوریه است با این تفاوت که تبدیل فوریه یک تابع را به حالت های ارتعاشی اش تجزیه می کند ولی تبدیل لاپلاس آن را به momentهایش تجزیه می کند. تبدیل های لاپلاس و فوریه هر دو برای حل معادله های دیفرانسیلی و انتگرالی کاربرد دارند. در فیزیک و مهندسی از این تبدیل برای تحلیل سامانهٔ نامتغیرهای خطی زمان مانند مدارهای الکتریکی، ابزارهای نوری، و سامانه های مکانیکی استفاده می شود. در بیشتر موارد، تبدیل لاپلاس برای تبدیل سامانه هایی با ورودی و خروجی وابسته به زمان به سامانه ای وابسته به بسامد زاویه ای مختلط با یکای رادیان بر واحد زمان است. به عبارت دیگر، اگر سامانه ای را در نظر بگیریم که توصیف ریاضی یا تابع ورودی و خروجی آن را داشته باشیم، تبدیل لاپلاس آن به ما کمک می کند تا تابع جایگزینی را پیدا کنیم که تحلیل رفتار این تابع را آسان تر می کند.
روش تبدیل لاپلاس، روش عملیاتی است که می تواند در حل معادلات دیفرانسیل خطی سودمند باشد . به کمک تبدیل های لاپلاس می توان بسیاری از توابع متداول نظیر توابع سینوسی، توابع سینوسی میرا، و توابع نمایی را به توابع جبری با یک متغیر مختلط تبدیل کرد . عملیات جبری در صفحات مختلط می توانند جای عملیاتی مانند مشتق گیری و انتگرال گیری را بگیرند . از این رو یک معادله دیفرانسیل خطی را می توان به یک معادله جبری با یک متغیر مختلط تبدیل کرد . آنگاه جواب معادله دیفرانسیل را می توان به کمک جدول تبدیل لاپلاس یا روش تجزیه به کسرهای ساده بدست آورد .
یکی از مزایای روش تبدیل لاپلاس در این است که استفاده از روش های ترسیمی برای پیش بینی عملکرد سیستم را بدون حل واقعی معادلات دیفرانسیل سیستم میسر می سازد . مزیت دیگر آن در این است که با حل معادله دیفرانسیل، می توان هر دو مؤلفه گذرا و حالت ماندگار جواب را یکجا بدست آورد .
این نوشته برگرفته از سایت ویکی پدیا می باشد، اگر نادرست یا توهین آمیز است، لطفا گزارش دهید: گزارش تخلفاین تبدیل به افتخار پیر لاپلاس یعنی کسی که آن را در یکی از کارهایش بر روی نظریهٔ احتمالات معرفی کرده بود، تبدیل لاپلاس گذاشته شده است.
تبدیل لاپلاس شبیه به تبدیل یا تبدیل فوریه است با این تفاوت که تبدیل فوریه یک تابع را به حالت های ارتعاشی اش تجزیه می کند ولی تبدیل لاپلاس آن را به momentهایش تجزیه می کند. تبدیل های لاپلاس و فوریه هر دو برای حل معادله های دیفرانسیلی و انتگرالی کاربرد دارند. در فیزیک و مهندسی از این تبدیل برای تحلیل سامانهٔ نامتغیرهای خطی زمان مانند مدارهای الکتریکی، ابزارهای نوری، و سامانه های مکانیکی استفاده می شود. در بیشتر موارد، تبدیل لاپلاس برای تبدیل سامانه هایی با ورودی و خروجی وابسته به زمان به سامانه ای وابسته به بسامد زاویه ای مختلط با یکای رادیان بر واحد زمان است. به عبارت دیگر، اگر سامانه ای را در نظر بگیریم که توصیف ریاضی یا تابع ورودی و خروجی آن را داشته باشیم، تبدیل لاپلاس آن به ما کمک می کند تا تابع جایگزینی را پیدا کنیم که تحلیل رفتار این تابع را آسان تر می کند.
روش تبدیل لاپلاس، روش عملیاتی است که می تواند در حل معادلات دیفرانسیل خطی سودمند باشد . به کمک تبدیل های لاپلاس می توان بسیاری از توابع متداول نظیر توابع سینوسی، توابع سینوسی میرا، و توابع نمایی را به توابع جبری با یک متغیر مختلط تبدیل کرد . عملیات جبری در صفحات مختلط می توانند جای عملیاتی مانند مشتق گیری و انتگرال گیری را بگیرند . از این رو یک معادله دیفرانسیل خطی را می توان به یک معادله جبری با یک متغیر مختلط تبدیل کرد . آنگاه جواب معادله دیفرانسیل را می توان به کمک جدول تبدیل لاپلاس یا روش تجزیه به کسرهای ساده بدست آورد .
یکی از مزایای روش تبدیل لاپلاس در این است که استفاده از روش های ترسیمی برای پیش بینی عملکرد سیستم را بدون حل واقعی معادلات دیفرانسیل سیستم میسر می سازد . مزیت دیگر آن در این است که با حل معادله دیفرانسیل، می توان هر دو مؤلفه گذرا و حالت ماندگار جواب را یکجا بدست آورد .
wiki: تبدیل لاپلاس