در نظریه رسته ها، شاخه ای از ریاضیات، یک تبدیل طبیعی راهی برای تبدیل یک تابعگون به یکی دیگر فراهم می کند در حالی که به ساختار داخلی ( به عنوان مثال ترکیب پیکان ها ) رسته های درگیر، احترام می گذارد. از این رو یک تبدیل طبیعی می تواند به عنوان یک «پیکان از تابعگون ها» تلقی شود. در واقع این شهود می تواند به جهت تعریف رسته های تابعگون ها صوری بندی شود. تبدیلات طبیعی، پس از رسته ها و تابعگون ها، یکی از اساسی ترین مفاهیم نظریه رسته ها هستند و در عمدهٔ کاربردهای آن، ظاهر می شوند.
اگر F و G تابعگون هایی بین رسته های C و D باشند، در آن صورت، یک تبدیل طبیعی η از F به G خانواده ای از پیکان هاست دو شرط را ارضاء می کند.
• تبدیل طبیعی باید به هر شیء X در C یک فِلِش ηX: F ( X ) → G ( X ) بین اشیاء D نظیر کند. پیکانِ ηX، مولفه ن η در X نامیده می شود.
• مؤلفه ها باید به گونه ای باشد که برای هر پیکان f:X → Y داشته باشیم:
معادلهٔ اخیر را می توان به راحتی با نمودار جابجایی زیر تبیین کرد:
اگر F و G پادوردا باشند، پیکان های افقی در این نمودار، بر عکس می شوند. اگر η یک تبدیل طبیعی از F به G باشند، همچنین می توان نوشت η: F → G یا η: F ⇒ G. این را همچنین می توان اینطور بیان کرد که خانوادهٔ پیکانهای ηX: F ( X ) → G ( X ) در X طبیعی است.
اگر برای هر شئ X در C، پیکان ηX یک یکریختی باشد، یک ریختی در D باشد، در آنصورت η را یک یکریختی طبیعی ( یا گاهی هم ارزی طبیعی یا یکریختی تابعگون ها ) می گویند. دو تابعگون F و G را به طور طبیعی یکریخت یا به طور ساده تر، یکریخت گویند اگر یک یکریختی از F به G وجود داشته باشد.
یک تبدیل طبیعی η از F به G، عملاً یک خانواده ηX: F ( X ) → G ( X ) از پیکان هاست. بنابراین یک تبدیل طبیعی، یک تبدیل غیرطبیعی است که ηY ∘ F ( f ) = G ( f ) ∘ ηX برای هر پیکان f: X → Y. طبیعی ساز η، که با nat ( η ) نشان می دهند، بزرگترین زیر - رسته از C شامل تمام اشیاء از C که η به یک تبدیل طبیعی تحدید می شود.
برای حلقه های جابجایی R و S با همریختی f: R → S ، گروه های متناظر متشکل از ماتریس های n × n وارون پذیر GLn ( R ) و GLn ( S ) ، یک همریختی GLn ( f ) را به ارث می برند که با استفاده از f به روی هر مولفه از ماتریس به دست می آیند. به طور مشابه، f به یک همریختی گروهی f*: R* → S تحدید می شودکه در آن *R نشان دهنده گروه همانی های R است. در واقع GLn و * تابعگون هایی از CRing به Grp هستند. دترمینان روی گروه GLn ( R ) را که با detR نشان می دهیم، یک همریختی گروهی از GLn ( R ) به *R است. به علاوه با توجه به اینکه دترمینان روی تمام حلقه ها به طور یکسانی تعریف می شود، داریم: f* ∘ detR = detS ∘ GLn ( f ) . این نکته، باعث می شود که دترمینان، یک تبدیل طبیعی از GLn به * محسوب شود.
این نوشته برگرفته از سایت ویکی پدیا می باشد، اگر نادرست یا توهین آمیز است، لطفا گزارش دهید: گزارش تخلفاگر F و G تابعگون هایی بین رسته های C و D باشند، در آن صورت، یک تبدیل طبیعی η از F به G خانواده ای از پیکان هاست دو شرط را ارضاء می کند.
• تبدیل طبیعی باید به هر شیء X در C یک فِلِش ηX: F ( X ) → G ( X ) بین اشیاء D نظیر کند. پیکانِ ηX، مولفه ن η در X نامیده می شود.
• مؤلفه ها باید به گونه ای باشد که برای هر پیکان f:X → Y داشته باشیم:
معادلهٔ اخیر را می توان به راحتی با نمودار جابجایی زیر تبیین کرد:
اگر F و G پادوردا باشند، پیکان های افقی در این نمودار، بر عکس می شوند. اگر η یک تبدیل طبیعی از F به G باشند، همچنین می توان نوشت η: F → G یا η: F ⇒ G. این را همچنین می توان اینطور بیان کرد که خانوادهٔ پیکانهای ηX: F ( X ) → G ( X ) در X طبیعی است.
اگر برای هر شئ X در C، پیکان ηX یک یکریختی باشد، یک ریختی در D باشد، در آنصورت η را یک یکریختی طبیعی ( یا گاهی هم ارزی طبیعی یا یکریختی تابعگون ها ) می گویند. دو تابعگون F و G را به طور طبیعی یکریخت یا به طور ساده تر، یکریخت گویند اگر یک یکریختی از F به G وجود داشته باشد.
یک تبدیل طبیعی η از F به G، عملاً یک خانواده ηX: F ( X ) → G ( X ) از پیکان هاست. بنابراین یک تبدیل طبیعی، یک تبدیل غیرطبیعی است که ηY ∘ F ( f ) = G ( f ) ∘ ηX برای هر پیکان f: X → Y. طبیعی ساز η، که با nat ( η ) نشان می دهند، بزرگترین زیر - رسته از C شامل تمام اشیاء از C که η به یک تبدیل طبیعی تحدید می شود.
برای حلقه های جابجایی R و S با همریختی f: R → S ، گروه های متناظر متشکل از ماتریس های n × n وارون پذیر GLn ( R ) و GLn ( S ) ، یک همریختی GLn ( f ) را به ارث می برند که با استفاده از f به روی هر مولفه از ماتریس به دست می آیند. به طور مشابه، f به یک همریختی گروهی f*: R* → S تحدید می شودکه در آن *R نشان دهنده گروه همانی های R است. در واقع GLn و * تابعگون هایی از CRing به Grp هستند. دترمینان روی گروه GLn ( R ) را که با detR نشان می دهیم، یک همریختی گروهی از GLn ( R ) به *R است. به علاوه با توجه به اینکه دترمینان روی تمام حلقه ها به طور یکسانی تعریف می شود، داریم: f* ∘ detR = detS ∘ GLn ( f ) . این نکته، باعث می شود که دترمینان، یک تبدیل طبیعی از GLn به * محسوب شود.
wiki: تبدیل طبیعی