تابع وارون هذلولوی

وارون تابع های هذلولوی را تابع وارون هذلولوی یا تابع وارون هیپربولیک می گویند. که برابر انگلیسی آن area hyperbolic functions به معنی تابع سطح هذلولوی است. همان گونه که تابع های وارون مثلثاتی طول خم بر روی یک دایرهٔ یکه ( دایره ای به شعاع ۱ ) x۲ + y۲ = ۱ را بدست می آورند، توابع وارون هذلولوی نیز، سطح ناحیهٔ محدود به یک قطاع هذلولی یکه یا x۲ - y۲ = ۱ را بدست می آورند به همین دلیل نام دیگر این تابع ها «تابع سطح هذلولوی» است.
برای نشان دادن این نوع تابع ها به طور خلاصه از نام هایی مانند arcsinh و arccosh استفاده می کنند در حالی که این نام ها کاملاً بی ربطند و نادرست استفاده می شوند؛ چون عبارت arc خلاصه شدهٔ نام arcus است در حالی که خلاصه شدهٔ واژهٔ area به معنی سطح، ar می باشد. . [ ۱] [ ۲] [ ۳] در علوم رایانه برای کوتاه کردن نام تابع های وارون هذلولی آن ها را با نام هایی مانند asinh نمایش می دهند. همچنین از مفهوم هایی مانند sinh − 1 ⁡ ( x ) و cosh − 1 ⁡ ( x ) نیز استفاده می شود، البته باید توجه داشت که ۱ - به معنی وارون تابع است و نه توان آن. در نتیجه دو نمایش cosh − 1 ⁡ ( x ) و cosh ⁡ ( x ) − 1 دو مفهوم کاملاً متفاوت را می رسانند.
مقدار وارون تابع های هذلولوی را زاویه های هذلولوی یا زاویه های هیپربولیک می نامند.
بیان لگاریتمی این نوع تابع ها در صفحهٔ مختلط عبارت است از:
رادیکال ها در بالا نشانهٔ ریشهٔ دوم اند و تابع لگاریتم، لگاریتم مختلط است. در بازهٔ اعداد حقیقی مانند z = x که مقدارهای حقیقی باز می گرداند، می توان از برخی ساده سازی ها مانند x + 1 x − 1 = x 2 − 1 استفاده کرد که البته استفاده از این ساده سازی در حالت کلی درست نیست.
برخی سری های گسترش یافته را می توان برابر با تابع های زیر دانست:
گسترش سری نامتناهی arsinh x که در بی نهایت همگرا می شود، عبارت است از:
برای xهای حقیقی نیز داریم:
برای نمونه: فرض کنید θ = arsinh x باشد، آنگاه مشتق آن عبارت است از:
ترکیب تابع های هذلولوی و وارون هذلولوی یا هیپربولیک و وارون هیپربولیک، به ترتیب زیر خواهد بود:
دیگر رابطه های مفید مربوط به این بحث عبارتند از:
مشارکت کنندگان ویکی پدیا. «Inverse hyperbolic function». در دانشنامهٔ ویکی پدیای انگلیسی، بازبینی شده در ۶ سپتامبر ۲۰۱۱.