تابع محدب

در ریاضیات، تابع کوژ[ ۱] [ ۲] ( به انگلیسی: Convex Function ) ( یا تابع محدب ) ، تابع حقیقی - مقداری است که روی بازه n - بعدی تعریف شده و پاره خط بین هر دو نقطه از نمودار آن بالای نمودار بین آن دو نقطه قرار گیرد. به طور معادل، یک تابع کوژ است اگر اپی گراف ( مجموعه نقاط رو یا بالای نمودار تابع ) آن مجموعه ای کوژ باشد. تابع تک متغیره، دوبار دیفرانسیل پذیر است اگر و تنها اگر مشتق دوم آن روی تمام دامنه نا - منفی باشد. [ ۳] مثال های شناخته شده از توابع کوژ تک - متغیره شامل تابع مربعی x 2 و تابع نمایی e x می باشد. به بیان ساده، تابع کوژ، تابعی است که به شکل ∪ ( cup ) و تابع مقعر به شکل ∩ ( cap ) است.
توابع کوژ نقش مهمی را در بسیاری از مباحث ریاضی بازی می کنند. به خصوص در مطالعه مسائل بهینه سازی که توسط خواص مناسبی از بقیه توابع متمایز می شوند. به عنوان مثال، تابع اکیداً کوژ روی یک مجموعه باز، بیش از یک مینیمم ندارد. حتی در فضاهای بی نهایت بعدی، تحت فرض های مناسب اضافی، توابع کوژ هنوز هم خواص خود را حفظ کرده و نتیجتاً جزو شناخته شده ترین تابعی ها در حساب تغییرات اند. در نظریه احتمالات، وقتی توابع کوژ را بر روی امید ریاضی یک متغیر تصادفی اعمال می کنند، همیشه از بالا توسط امید ریاضی تابع کوژ آن متغیر تصادفی محدود می شود، یعنی کران بالای آن این مقدار است یا به بیان دقیق تر: E ⁡ ( f ( X ) ) ≥ f ( E ⁡ ( X ) ) . به خاصیت اخیر که در قالب یک نامساوی بیان شد، نامساوی جنسن ( یا ینسن ) گفته شده که می توان آن را جهت استنتاج نابرابری هایی چون نابرابری میانگین حسابی - هندسی و نابرابری هولدر نیز به کار برد.
فرض کنیم − ∞ ≤ a < b ≤ + ∞ ، تابع f : ( a , b ) → R را کوژ گوییم در صورتی که به ازای هر دو عدد x 1 , x 2 ∈ ( a , b ) و هر t که 0 ≤ t ≤ 1 ، داشته باشیم:
اگر در تعریف بالا تساوی را برداریم آنگاه f را اکیداً کوژ می نامیم.
[ ۴]
[ ۵]