تابع مقعر

تابع کاو[ ۱] یا تابع مقعّر تابعی است که اگر دو نقطهٔ دلخواه A و B از این تابع را در نظر بگیریم، خط A B همواره زیر تابع یا همسطح آن قرار بگیرد. به بیان ریاضی:
اگر در این نابرابری، علامت ≤ را با علامت < جایگزین کنیم، تعریف تابع اکیداً کاو به دست می آید. با توجه به تعریف هر خط راستی هم نمایانگر یک تابع کوژ و هم نمایانگر یک تابع کاو است.
برخی از ویژگی های تابع کاو از این قرارند:[ ۲]
• مشتق دوم یک تابع کاو کوچکتر از صفر است.
• بیشینهٔ موضعی یک تابع کاو، بیشینهٔ فراموضعی آن نیز هست.
• تابع مجموع یک تابع ( اکیداً ) کاو، ( اکیداً ) کاو است.
• اگر f ( x ) {\displaystyle f ( x ) } یک تابع کاو باشد، − f ( x ) {\displaystyle - f ( x ) } یک تابع کوژ خواهد بود.
• به طور کلی اگر f ( x ) یک تابع کاو و α {\displaystyle \alpha } یک مقدار ثابت باشد، در صورت مثبت بودن آلفا، α f ( x ) {\displaystyle \alpha f ( x ) } یک تابع کاو خواهد بود و در صورتی که α {\displaystyle \alpha } کوچکتر از صفر باشد α f ( x ) {\displaystyle \alpha f ( x ) } یک تابع کوژ خواهد بود.