تابع دبلیوی لامبرت

در ریاضیات، تابع دبلیوی لامبرت که به نام های تابع اُمِگا و لگاریتم ضربی هم صدا زده می شود، یک تابع چندمقداری است. ایدهٔ اصلیِ تعریف این تابع چندمقداری نوشتنِ وارونی برای تابعِ f ( x ) = x e x است. چون ضابطهٔ f یک به یک نیست، بنابراین وارونِ آن نیز یک تابع نمی شود. به یاد آورید که تابع یک ضابطهٔ ریاضی است که هر عضو از مجموعهٔ دامنه اش را تنها به یک عضو از مجموعهٔ هم دامنه اش می نگارد. اگر ضابطهٔ وارونِ تابع f را با w ( x ) نمایش دهیم، آنگاه باید داشته باشیم f ( w ( x ) ) = x یا معادلاً w ( x ) e w ( x ) = x . همان گونه که در شکل می بینید ( خم قرمزرنگ ) ضابطهٔ w ( x ) یک تابع نمی شود؛ زیرا در قسمتی از دامنه اش، یک عدد حقیقی را به دو عدد حقیقی می نگارد. برای تابع کردنِ این ضابطه هم دامنه را تحدید می کنیم، مانند کاری که با تابع جذر انجام می دادیم. به هر یک از تحدیدهای این ضابطه که تابع می شود یک شاخه می گوئیم. توجه کنید که مانند تابع لگاریتم که به اعداد مختلط نیز تعمیم داده می شود، تابع دبلیوی لامبرت نیز به اعداد مختلط تعمیم داده می شود. در این حالت به ازای هر عدد صحیحِ k یک شاخه از تابع دبلیوی لامبرت داریم. شاخهٔ k اُم تابع دبلیوی لامبرت را با w k ( x ) نمایش می دهیم. تنها دو شاخه دارای قسمت حقیقی هستند که شاخه های صفرم و منفی یکم می باشند. شاخهٔ صفرم را شاخهٔ اصلیِ این تابع چندمقداری نیز می نامند و اگر زیراندیس k برای w نوشته نشود به طور پیش فرض منظور شاخهٔ اصلی می باشد. [ ۱] [ ۲]
این تابع در نرم افزار متلب با دستورِ lambertw فراخوانی می شود. شاخهٔ اصلی با یک ورودیِ x و شاخه های دیگر با دو وردیِ k و x که k عددی صحیح و نشان دهندهٔ شمارهٔ شاخه است، به ترتیب به شکل lambertw ( x ) و lambertw ( k, x ) استفاده می شوند. [ ۳]
این تابع در نرم افزار میپل با دستور LambertW فراخوانی می شود. مشابه با نرم افزار متلب، شاخهٔ اصلی با یک ورودی و شاخه های دیگر با دو ورودی به شکل LambertW ( x ) و LambertW ( k, x ) استفاده می شوند. [ ۴]
این تابع در نرم افزار متمتیکا با دستور ProductLog فراخوانی می شود. مشابه دو نرم افزار دیگر، شاخهٔ اصلی با یک ورودی و شاخه های دیگر با دو ورودی به شکل ProductLog و ProductLog استفاده می شوند. در نرم افزار متمتیکا به جای پرانتز از کروشه برای گرفتن ورودی های تابع استفاده می شود. [ ۵]