در نظریه اعداد، تابع حسابی تابعی است با دامنه اعداد طبیعی.
گاهی به این توابع تابع نظریه اعدادی نیز می گویند اما این لفظ بیشتر به توابع حسابی با برد اعداد حقیقی یا مختلط استفاده می شود.
توابع حسابی نقش اساسی در نظریه اعداد دارند و کمک می کنند خواص اعداد را بهتر مورد مطالعه قرار دهیم توابع از اهمیت زیادی در ریاضیات برخوردار هستند و اکثر ضابطه ها را میتوان روی تابع به نمایش گذاشت.
نمونه های زیادی را می توان از توابع حسابی نام برد. چند نمونه از مهم ترین و پرکاربردترین آنها عبارت اند از:
• تابع فی اویلر: تابع فی - اویلر یا تابع کامل اویلر، به ازای هر عدد طبیعی n به صورت تعداد اعداد طبیعی نابیشتر از n که نسبت به n اولند تعریف می شود و آن را با ϕ {\displaystyle \phi } نشان می دهند.
• تابع موبیوس: از مهم ترین توابع حسابی تابع موبیوس است که آن را با μ {\displaystyle \mu } نشان می دهند و برای هر عدد طبیعی n به صورت زیر تعریف می شود:
یا به عبارت دیگر:
•
• μ ( n ) = 1 {\displaystyle \mu ( n ) =1} اگر n=1.
• اگر n عددی خالی از مربع نباشد ( یعنی بر مربع عددی اول بخش پذیر باشد ) در این صورت μ ( n ) = 0 {\displaystyle \mu ( n ) =0}
• اگر n=p1p2p3. . . pr که در آن piها اعداد اول متمایز هستند، μ ( n ) = ( − 1 ) r {\displaystyle \mu ( n ) = ( - 1 ) ^{r}}
•
• اگر به ازای عدد اول p و عدد طبیعی n=pk ، k آنگاه Λ ( n ) = ln p {\displaystyle \Lambda ( n ) =\ln p}
• در غیر این صورت Λ ( n ) = 0 {\displaystyle \Lambda ( n ) =0}
• اگر n=1، آنگاه λ ( 1 ) = 1 {\displaystyle \lambda ( 1 ) =1}
• اگر n> 1 و n = p 1 α 1 p 2 α 2 p 3 α 3 . . . p r α r {\displaystyle n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}p_{3}^{\alpha _{3}}. . . p_{r}^{\alpha _{r}}} تجزیه استاندارد n به عوامل اول باشد، آنگاه
• توابع مقسوم علیهی: برای هر عدد طبیعی n و هر عدد حقیقی α تابع σ α ( n ) {\displaystyle \sigma _{\alpha } ( n ) } را به صورت مجموع توانهای α ام مقسوم علیه های n تعریف می کنیم یعنی:
• تابع همانی:برای هر عدد طبیعی n تابع I ( n ) = {\displaystyle I ( n ) =\left} را تابع همانی می گویند. علت نام گذاری این تابع به عنوان همانی آن است که این تابع عضو خنثی ( همانی ) نسبت به ضرب دیریکله توابع حسابی محسوب می شود.
• تابع یکه:به ازای هر عدد طبیعی n تابع u ( n ) = 1 {\displaystyle u ( n ) =1} را تابع یکه می گویم.
• تابع توان:برای هر عدد طبیعی n و هر عدد حقیقی با مختلط α تابع N α ( n ) = n α {\displaystyle N^{\alpha } ( n ) =n^{\alpha }} را تابع توان می گوییم.
این نوشته برگرفته از سایت ویکی پدیا می باشد، اگر نادرست یا توهین آمیز است، لطفا گزارش دهید: گزارش تخلفگاهی به این توابع تابع نظریه اعدادی نیز می گویند اما این لفظ بیشتر به توابع حسابی با برد اعداد حقیقی یا مختلط استفاده می شود.
توابع حسابی نقش اساسی در نظریه اعداد دارند و کمک می کنند خواص اعداد را بهتر مورد مطالعه قرار دهیم توابع از اهمیت زیادی در ریاضیات برخوردار هستند و اکثر ضابطه ها را میتوان روی تابع به نمایش گذاشت.
نمونه های زیادی را می توان از توابع حسابی نام برد. چند نمونه از مهم ترین و پرکاربردترین آنها عبارت اند از:
• تابع فی اویلر: تابع فی - اویلر یا تابع کامل اویلر، به ازای هر عدد طبیعی n به صورت تعداد اعداد طبیعی نابیشتر از n که نسبت به n اولند تعریف می شود و آن را با ϕ {\displaystyle \phi } نشان می دهند.
• تابع موبیوس: از مهم ترین توابع حسابی تابع موبیوس است که آن را با μ {\displaystyle \mu } نشان می دهند و برای هر عدد طبیعی n به صورت زیر تعریف می شود:
یا به عبارت دیگر:
•
• μ ( n ) = 1 {\displaystyle \mu ( n ) =1} اگر n=1.
• اگر n عددی خالی از مربع نباشد ( یعنی بر مربع عددی اول بخش پذیر باشد ) در این صورت μ ( n ) = 0 {\displaystyle \mu ( n ) =0}
• اگر n=p1p2p3. . . pr که در آن piها اعداد اول متمایز هستند، μ ( n ) = ( − 1 ) r {\displaystyle \mu ( n ) = ( - 1 ) ^{r}}
•
• اگر به ازای عدد اول p و عدد طبیعی n=pk ، k آنگاه Λ ( n ) = ln p {\displaystyle \Lambda ( n ) =\ln p}
• در غیر این صورت Λ ( n ) = 0 {\displaystyle \Lambda ( n ) =0}
• اگر n=1، آنگاه λ ( 1 ) = 1 {\displaystyle \lambda ( 1 ) =1}
• اگر n> 1 و n = p 1 α 1 p 2 α 2 p 3 α 3 . . . p r α r {\displaystyle n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}p_{3}^{\alpha _{3}}. . . p_{r}^{\alpha _{r}}} تجزیه استاندارد n به عوامل اول باشد، آنگاه
• توابع مقسوم علیهی: برای هر عدد طبیعی n و هر عدد حقیقی α تابع σ α ( n ) {\displaystyle \sigma _{\alpha } ( n ) } را به صورت مجموع توانهای α ام مقسوم علیه های n تعریف می کنیم یعنی:
• تابع همانی:برای هر عدد طبیعی n تابع I ( n ) = {\displaystyle I ( n ) =\left} را تابع همانی می گویند. علت نام گذاری این تابع به عنوان همانی آن است که این تابع عضو خنثی ( همانی ) نسبت به ضرب دیریکله توابع حسابی محسوب می شود.
• تابع یکه:به ازای هر عدد طبیعی n تابع u ( n ) = 1 {\displaystyle u ( n ) =1} را تابع یکه می گویم.
• تابع توان:برای هر عدد طبیعی n و هر عدد حقیقی با مختلط α تابع N α ( n ) = n α {\displaystyle N^{\alpha } ( n ) =n^{\alpha }} را تابع توان می گوییم.
wiki: تابع حسابی