در ریاضیات، تابع بتا دیریکله ( این تابع با عنوان تابع بتا کاتالان نیز شناخته می شود ) یک تابع خاص مشابه تابع زتا ریمان است. [ ۱]
تابع بتا دیریکله به این صورت تعریف می شود:
β ( s ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) s ,
این تابع با فرمول پایین معادل است:
β ( s ) = 1 Γ ( s ) ∫ 0 ∞ x s − 1 e − x 1 + e − 2 x d x
در هر دو مورد، فرض بر این است که R e ( s ) > 0 .
مضاف بر این با تعریف پایین می توان تابع را توسط تابع هورویتز زتا در فضای اعداد مختلط به این شکل تعریف کرد:[ ۲]
β ( s ) = 4 − s ( ζ ( s , 1 4 ) − ζ ( s , 3 4 ) ) .
تعریف دیگری که می توان از این تابع ارائه داد توسط تابع لِرش زتا است، که مانند تعریف پیشین برای تمام اعداد مختلط s تعریف شده است:
β ( s ) = 2 − s Φ ( − 1 , s , 1 2 ) ,
در نهایت این تابع را می توان به صورت یک سری نیز تعریف کرد، با کمک تابع پُلی گاما:
β ( s ) = 1 2 s ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( n + 1 2 ) s = 1 ( − 2 ) 2 s ( s − 1 ) !
معادله تابعی تابع بتا را از سمت چپ صفحه اعداد مختلط ، R e ( s ) < 0 گسترش می دهد:
β ( 1 − s ) = ( π 2 ) − s sin ( π 2 s ) Γ ( s ) β ( s )
در اینجا Γ ( s ) تابع گاما است.
برخی از ویژه مقادیر تابع عبارتند از:
β ( 0 ) = 1 2 ,
β ( 1 ) = arctan ( 1 ) = π 4 ,
β ( 2 ) = G ,
در اینجا G عدد ثابت کاتالان است.
β ( 3 ) = π 3 32 ,
β ( 4 ) = 1 768 ( ψ 3 ( 1 4 ) − 8 π 4 ) ,
β ( 5 ) = 5 π 5 1536 ,
β ( 7 ) = 61 π 7 184320 ,
در اینجا ψ 3 ( 1 / 4 ) نمونه ای از تابع پُلی گاما است. به طور کلی، برای هر عدد صحیح مثبت K معادله پایین همیشه برقرار است:
β ( 2 k + 1 ) = ( − 1 ) k E 2 k π 2 k + 1 4 k + 1 ( 2 k ) ! , β ( 2 k + 1 ) = ( − 1 ) k E 2 k π 2 k + 1 4 k + 1 ( 2 k ) ! ,
این نوشته برگرفته از سایت ویکی پدیا می باشد، اگر نادرست یا توهین آمیز است، لطفا گزارش دهید: گزارش تخلفتابع بتا دیریکله به این صورت تعریف می شود:
β ( s ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) s ,
این تابع با فرمول پایین معادل است:
β ( s ) = 1 Γ ( s ) ∫ 0 ∞ x s − 1 e − x 1 + e − 2 x d x
در هر دو مورد، فرض بر این است که R e ( s ) > 0 .
مضاف بر این با تعریف پایین می توان تابع را توسط تابع هورویتز زتا در فضای اعداد مختلط به این شکل تعریف کرد:[ ۲]
β ( s ) = 4 − s ( ζ ( s , 1 4 ) − ζ ( s , 3 4 ) ) .
تعریف دیگری که می توان از این تابع ارائه داد توسط تابع لِرش زتا است، که مانند تعریف پیشین برای تمام اعداد مختلط s تعریف شده است:
β ( s ) = 2 − s Φ ( − 1 , s , 1 2 ) ,
در نهایت این تابع را می توان به صورت یک سری نیز تعریف کرد، با کمک تابع پُلی گاما:
β ( s ) = 1 2 s ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( n + 1 2 ) s = 1 ( − 2 ) 2 s ( s − 1 ) !
معادله تابعی تابع بتا را از سمت چپ صفحه اعداد مختلط ، R e ( s ) < 0 گسترش می دهد:
β ( 1 − s ) = ( π 2 ) − s sin ( π 2 s ) Γ ( s ) β ( s )
در اینجا Γ ( s ) تابع گاما است.
برخی از ویژه مقادیر تابع عبارتند از:
β ( 0 ) = 1 2 ,
β ( 1 ) = arctan ( 1 ) = π 4 ,
β ( 2 ) = G ,
در اینجا G عدد ثابت کاتالان است.
β ( 3 ) = π 3 32 ,
β ( 4 ) = 1 768 ( ψ 3 ( 1 4 ) − 8 π 4 ) ,
β ( 5 ) = 5 π 5 1536 ,
β ( 7 ) = 61 π 7 184320 ,
در اینجا ψ 3 ( 1 / 4 ) نمونه ای از تابع پُلی گاما است. به طور کلی، برای هر عدد صحیح مثبت K معادله پایین همیشه برقرار است:
β ( 2 k + 1 ) = ( − 1 ) k E 2 k π 2 k + 1 4 k + 1 ( 2 k ) ! , β ( 2 k + 1 ) = ( − 1 ) k E 2 k π 2 k + 1 4 k + 1 ( 2 k ) ! ,
wiki: تابع بتا دیریکله