در ریاضیات، سری تیلور یا بسط تیلور ( به انگلیسی: Taylor series ) ، نمایش یک تابع به صورت مجموع بی نهایت جمله است که از مشتق های تابع در یک نقطه به دست می آید. ریاضیدان انگلیسی، بروک تیلور، در سال ۱۷۱۵ میلادی، مفهوم سری تیلور را به طور رسمی معرفی کرد. اگر سری را دور نقطه صفر گسترش دهیم، سری، سری مکلارن نامیده می شود که به نام ریاضیدان اسکاتلندی، کالین مکلارن ( که در قرن ۱۸م. از این حالت خاص سری تیلور استفاده بسیاری کرد ) نام گذاری شده است. مرسوم است که توابع را حول یک نقطه با تعدادی متناهی از جملات سری تیلور تقریب بزنند. قضیه تیلور مقدار خطای این تقریب زنی را به صورت کمّی تخمین می زند. هر تعداد متناهی از جملات اول سری تیلور به چندجمله ای تیلور معروف است. سری تیلور یک تابع، حد چندجمله ای های تیلور آن است ( اگر حد وجود داشته باشد ) یک تابع ممکن است با سری تیلورش برابر نباشد حتی اگر سری تیلور آن در هر نقطه همگرا باشد. تابعی که در یک بازهٔ باز ( یا یک دیسک در صفحه مختلط ) با سری تیلورش برابر باشد، تابع تحلیلی نامیده می شود.
سری تیلور یک تابع f ( x ) با مقادیر حقیقی یا مختلط که در همسایگی نقطه حقیقی یا مختلط x 0 بی نهایت بار مشتق پذیر است، سری توانیِ زیر است:
f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) 1 ! + f ″ ( x 0 ) ( x − x 0 ) 2 2 ! + f ‴ ( x 0 ) ( x − x 0 ) 3 3 ! + . . .
که می توانیم آن را با علامت سیگما خلاصه تر بنویسیم:
f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n
فرض کنید می خواهیم تابعی چندجمله ای مثل P ( x ) مدلسازی کنیم که در همسایگی نقطه a با تابع f ( x ) یکریخت باشد. اول اینکه باید مقدار تابع در نقطه a با برابر باشد پس داریم: P ( a ) = f ( a ) تا اینجا داریم P ( x ) = f ( a ) و اکنون برای اینکه تابع P در همسایگی a نیز شبیه شود باید مشتق های آن در این نقطه با مشتق های برابر باشد. مشتق های را به صورت مضاربی از x به P اضافه می کنیم به طوری که: ( ۱ ) در نقطهٔ a برابر صفر باشند تا مدل به هم نخورد و ( ۲ ) مشتق i - اُمِ P برابر با مشتق i - اُمِ باشد. برای برقراری شرط یک و دو کافی ست مقدار عددی مشتق i - اُمِ را به ضریبِ ( x − a ) i i ! قرار دهیم. در این صورت این مقدار تا مشتق i - اُم صفر باقی خواهد ماند و چون در هر مشتق این مقدار در توانِ صورت ضرب می شود هنگامِ گرفتن مشتق i - اُم خواهیم داشت P ( i ) ( x ) = d d x ( f ( i ) ( a ) ) ( i ! ) ( x − a ) i i ! = f ( i ) ( a ) . اگر اضافه کردن مشتقات را تا ابد ادامه دهیم تابع P بیشتر شبیه شده تا در بینهایت هم ارز خود شود.
این نوشته برگرفته از سایت ویکی پدیا می باشد، اگر نادرست یا توهین آمیز است، لطفا گزارش دهید: گزارش تخلفسری تیلور یک تابع f ( x ) با مقادیر حقیقی یا مختلط که در همسایگی نقطه حقیقی یا مختلط x 0 بی نهایت بار مشتق پذیر است، سری توانیِ زیر است:
f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) 1 ! + f ″ ( x 0 ) ( x − x 0 ) 2 2 ! + f ‴ ( x 0 ) ( x − x 0 ) 3 3 ! + . . .
که می توانیم آن را با علامت سیگما خلاصه تر بنویسیم:
f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n
فرض کنید می خواهیم تابعی چندجمله ای مثل P ( x ) مدلسازی کنیم که در همسایگی نقطه a با تابع f ( x ) یکریخت باشد. اول اینکه باید مقدار تابع در نقطه a با برابر باشد پس داریم: P ( a ) = f ( a ) تا اینجا داریم P ( x ) = f ( a ) و اکنون برای اینکه تابع P در همسایگی a نیز شبیه شود باید مشتق های آن در این نقطه با مشتق های برابر باشد. مشتق های را به صورت مضاربی از x به P اضافه می کنیم به طوری که: ( ۱ ) در نقطهٔ a برابر صفر باشند تا مدل به هم نخورد و ( ۲ ) مشتق i - اُمِ P برابر با مشتق i - اُمِ باشد. برای برقراری شرط یک و دو کافی ست مقدار عددی مشتق i - اُمِ را به ضریبِ ( x − a ) i i ! قرار دهیم. در این صورت این مقدار تا مشتق i - اُم صفر باقی خواهد ماند و چون در هر مشتق این مقدار در توانِ صورت ضرب می شود هنگامِ گرفتن مشتق i - اُم خواهیم داشت P ( i ) ( x ) = d d x ( f ( i ) ( a ) ) ( i ! ) ( x − a ) i i ! = f ( i ) ( a ) . اگر اضافه کردن مشتقات را تا ابد ادامه دهیم تابع P بیشتر شبیه شده تا در بینهایت هم ارز خود شود.
wiki: بسط تیلور