برگ سازی

در شاخه هندسه دیفرانسیل از ریاضیات، برگ سازی ( به انگلیسی: Foliation ) ، نوعی رابطه هم ارزی روی یک n - منیفلد است. در رابطه هم ارزی مذکور، هر رده هم ارزی برابر زیرمنیفلدهای همبندی است که به طور یک - به - یک ایمرس شده و همگی دارای بعدی برابر با p می باشند. منیفلدهای مذکور روی تجزیه فضای مختصات حقیقی R n به هم دسته های x + R p که در R p به صورت استاندارد نشانده شده اند، مدل سازی می شوند. این رده های هم ارزی را برگ های این برگ سازی می گویند. [ ۱] اگر منیفلد مورد نظر و/یا زیرمنیفلدهای آن ملزم به داشتن خواصی چون قطعه - به - قطعه خطی بودن، دیفرانسیل پذیری ( از رده C r ) یا ساختاری تحلیلی شوند، آنگاه می توان به ترتیب برگ سازی های قطعه - به - قطعه خطی، دیفرانسیل پذیر یا تحلیلی ایجاد نمود. در مهم ترین حالت، برگ سازی از رده C r را به صورت r ≥ 1 در نظر می گیرند ( چرا که حالت C 0 ، برگ سازی توپولوژیکی است ) . [ ۲] عدد p ( بعد برگ ها ) را بعد برگ سازی نامیده و q = n − p را هم بعد آن گویند.
در برخی مقالاتی که ریاضی - فیزیک دانان در مورد نسبیت عام نگاشته اند، اصطلاح برگ سازی ( یا قاچ زدن، slicing ) را جهت توصیف شرایطی به کار می برند که منیفلد لورنتزی مد نظر ( فضا - زمان ( p+1 ) - بعدی ) ، به ابر رویه های p بعدی تجزیه شده باشد، به گونه ای که می توان آن را به صورت مجوعه های سطحی ( level sets ) از یک تابع هموار حقیقی - مقداری ( میدان نرده ای ) در نظر گرفت که گرادیانش همه جا ناصفر است؛ همچنین اغلب این تابع هموار را تابع زمانی در نظر می گیرند، یعنی گرادیان آن زمان - گونه است، چنان که مجموعه های سطحی اش همگی ابررویه هایی فضا - گونه اند. در تمایز با واژه شناسی استاندارد ریاضیاتی، این ابررویه ها را اغلب برگ های ( یا قاچ های ) برگ سازی گویند. [ ۳] توجه کنید که با وجود این که این شرایط از نظر ریاضیاتی موجب ایجاد برگ سازی با هم - بعد ۱ می شود، اما مثال های این نوع برگ سازی در عمل از نظر سرتاسری بدیهی اند؛ در حالی که برگ های برگ سازیی با هم - بعد ۱ همیشه به طور موضعی، مجموعه های سطحی از یک تابع اند، این برگ سازی ها را عموماً نمی توان در حالت سرتاسری به این صورت بیان نمود، [ ۴] [ ۵] چرا که ممکن است یک برگ از چارت ( یا کارت ) بدیهی ساز موضعی بی نهایت بار عبور کند و همچنین ممکن است هولونومی حول یک برگ، وجود توابعی که به طور سرتاسری برای برگ ها سازگار اند را نیز مانع شود. به عنوان مثال، درحالی که ۳ - کره دارای برگ سازی معروفی با هم - بعد ۱ است که توسط Reeb کشف شد، برگ سازی با هم - بعد ۱ از منیفلد بسته دلخواه را نمی توان مجهز به مجموعه های سطحی یک تابع هموار نمود، چرا که تابع هموار دلخواه روی یک منیفلد بسته لزوماً دارای نقاط بحرانی در ماکسیمم ها و مینیمم هایش می باشد.