انالیز مختلط

آنالیز مختلط. آنالیز مختلط ( به انگلیسی: Complex Analysis ) که در گذشته به آن نظریه توابع با یک متغیر مختلط می گفتند، شاخه ای از آنالیز ریاضی است که به بررسی توابع روی اعداد مختلط می پردازد. این شاخه در بسیاری از شاخه های دیگر ریاضیات مفید است چون: هندسه جبری، نظریه اعداد، ترکیبیات تحلیلی، ریاضیات کاربردی و همچنین در فیزیک، شامل شاخه های هیدرودینامیک، ترمودینامیک و بخصوص در مکانیک کوانتوم. همچنین آنالیز مختلط کاربردهایی در شاخه های مهندسی چون هسته ای، هوافضا، مکانیک و برق دارد.
از آنجا که تابع دیفرانسیل پذیر از یک متغیر مختلط برابر بسط تیلور آن است ( یعنی تحلیلی است ) ، لذا آنالیز مختلط به طور خاص با توابع تحلیلی با متغیر مختلط سروکار دارد ( یعنی تابع هولومورفیک ) .
تابعی است که هم دامنه تعریف آن و هم مقدار آن هردو مختلط باشند. به این ترتیب، یک تابع مختلط، تابعی است با تعریف
f : C → C , x + i y ↦ f ( x + i y ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) .
از آنجا که C با R 2 هم ارز است، گاهی تعریف f : R 2 → R 2 نیز بکار برده می شود.
این توابع بویژه در مطالعه هندسه فراکتال ها، و علوم مهندسی چون طراحی مدارات و سیستم های مختلف الکترنیکی و مخابراتی کاربرد بسیار فراوان دارند. توابع مختلط بر خلاف توابع حقیقی به صورت هندسی در صفحه قابل نمایش نیستند و به صورت دوبُعدی هستند. چندین روش برای نشان دادن اعداد مختلط وجود دارد. یکی از راه های نمایش این اعداد نمایش با استفاده از روش دکارتی می باشد. روش دوم نمایش این اعداد نمایش استاندارد می باشد. روش سوم و مهمترین روش نمایش اعداد مختلط نمایش قطبی می باشد. فرمول معروف اویلر ریاضی دان شهیر سوییسی نقش کلیدی در نمایش اعداد مختلط به گونه قطبی می باشد.
به تابعی که مختلط مشتق پذیر باشد، تابع تحلیلی یا تابع تمامریخت گفته می شود و آن زمانی است که حد زیر در دایره بازی، در اطراف نقطه z 0 وجود داشته باشد. در اینجا مسلماً z یک مقدار مختلط است.
f ′ ( z 0 ) = lim z → z 0 f ( z ) − f ( z 0 ) z − z 0
تعریف بالا، هم ارز است با شرایط کوشی - ریمان که به راحتی از آن به دست می آید. f ( z ) = u ( z ) + i v ( z ) , z = x + i y :
∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y , ∂ u ∂ y = − ∂ v ∂ x