افراز مجموعه

در نظریه مجموعه ها اِفراز یک مجموعه[ ۱] ( به انگلیسی: Partition of a set ) یعنی تبدیل کردن آن به زیرمجموعه هایش به طوری که، اشتراک هر کدام از آن زیرمجموعه ها با یکدیگر مجموعه تهی باشد ( مجموعه های مجزا ) و اجتماع تمامی زیر مجموعه ها برابر با مجموعه افراز شده باشد.
فرض کنید X مجموعه ای غیرتهی باشد. منظور از یک افراز X مانند P ، یک مجموعه از زیرمجموعه های ناتهی X است ( P ∈ P ( X ) ) به قسمی که:
• اگر B , A ∈ P {\displaystyle B, A\in {\mathcal {P}}} و A ≠ B {\displaystyle A\neq B} ، آنگاه A ∩ B = ∅ {\displaystyle A\cap B=\varnothing } .
• ⋃ C ∈ P = X {\displaystyle \bigcup _{C\in {\mathcal {P}}}=X}
به تعبیر شهودی افراز X ، یک «تقسیم X » به قطعه هایی مجزا و ناتهی است. [ ۲]
مجموعه های P = { { 1 , 5 } , { 2 , 4 , 6 } , { 8 , 9 } } افراز مجموعهٔ M = { 1 , 2 , 4 , 5 , 6 , 8 , 9 } می باشند، اما برای { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } افراز درستی نیستند، زیرا ۳ و ۷ عضوی از زیرمجموعه های موجود در P نیستند. مجموعه های { { 1 , 2 } , { 2 , 3 } } افرازی از هیچ مجموعه ای نمی باشند، چون {1, 2} و {2, 3} مجموعه هایی مجزا نیستند.
افرازهای {1, 2, 3}  :
• { { 1 , 2 , 3 } } {\displaystyle \left\{\left\{1, 2, 3\right\}\right\}}
• { { 1 , 2 } , { 3 } } {\displaystyle \left\{\left\{1, 2\right\}, \left\{3\right\}\right\}}
• { { 1 } , { 2 , 3 } } {\displaystyle \left\{\left\{1\right\}, \left\{2, 3\right\}\right\}}
• { { 1 , 3 } , { 2 } } {\displaystyle \left\{\left\{1, 3\right\}, \left\{2\right\}\right\}}
• { { 1 } , { 2 } , { 3 } } {\displaystyle \left\{\left\{1\right\}, \left\{2\right\}, \left\{3\right\}\right\}}
افراز مجموعهٔ تهی، تنها خود مجموعهٔ تهی است.
برای یافتن تعداد افرازهای یک مجموعهٔ متناهی از عدد بل B n ( به یاد اریک تمپل بل ) استفاده می شود  :