در ریاضیات می توانیم مبحثی را با چند قانون شروع کنیم سپس با استفاده از این قوانین اولیه، قوانین دیگری به وجود آوریم. معمولاً این قوانین اولیه از نظر ریاضی بدیهی ( self evident ) هستند. به این قوانین اولیه اصول احتمال می گویند. نظریه احتمالات نیز چنین روندی را دنبال می کند و به قوانین اولیه آن اصول احتمال ( به انگلیسی: probability axioms ) می گویند.
در اینجا به اصول احتمال کولموگروف ( Kolmogorov axioms ) می پردازیم. این اصول عبارتند از:
• اگر F {\displaystyle F} فضای نمونه و E {\displaystyle E} پیشامدی از فضای نمونه باشد آنگاه P ( E ) ∈ R , P ( E ) ≥ 0 ∀ E ⊆ F {\displaystyle P ( E ) \in \mathbb {R} , \ P ( E ) \geq 0\qquad \forall E\subseteq F}
• اگر F {\displaystyle F} فضای نمونه باشد آنگاه P ( F ) = 1 {\displaystyle P ( F ) =1}
• اگر E1 و E2 و . . . پیشامدهایی ناسازگار شمارش پذیر از فضای نمونه F {\displaystyle F} باشند آنگاه P ( E 1 ∪ E 2 ∪ ⋯ ) = ∑ i = 1 ∞ P ( E i ) . {\displaystyle P ( E_{1}\cup E_{2}\cup \cdots ) =\sum _{i=1}^{\infty }P ( E_{i} ) . }
حال با استفاده از این سه اصل به استخراج نتایجی می پردازیم.
گزاره: اگر A ⊆ B آنگاه P ( A ) ≤ P ( B )
اثبات: چون A ⊆ B است پس می توان B را به صورت B = A ∪ ( A ′ ∩ B ) نوشت و چون این دو پیشامد ناسازگار هستند بنا بر اصل 3 داریم:
و بنا بر اصل 1 چون P ( A ′ ∩ B ) ≥ 0 نتیجه به دست می آید ( منظور از A ′ متمم A است ) .
گزاره: اگر F فضای نمونه و ∅ نشان دهنده پیشامد تهی باشد آنگاه
اثبات: می دانیم F ∪ ∅ = F و دو پیشامد ناسازگار هستند پس بنا بر اصل 2و 3 داریم
گزاره: اگر A پیشامدی از فضای نمونه F باشد آنگاه داریم
اثبات:
گزاره:اگر A پیشامدی از فضای نمونه F و A ′ متمم پیشامد A باشد آنگاه
گزاره: اگر A و B دو پیشامد از فضای نمونه F باشد آنگاه
با استفاده از نتایج به دست آمده در دو سطر بالا داریم
حکم ثابت می شود[ ۱] [ ۲] .
این نوشته برگرفته از سایت ویکی پدیا می باشد، اگر نادرست یا توهین آمیز است، لطفا گزارش دهید: گزارش تخلفدر اینجا به اصول احتمال کولموگروف ( Kolmogorov axioms ) می پردازیم. این اصول عبارتند از:
• اگر F {\displaystyle F} فضای نمونه و E {\displaystyle E} پیشامدی از فضای نمونه باشد آنگاه P ( E ) ∈ R , P ( E ) ≥ 0 ∀ E ⊆ F {\displaystyle P ( E ) \in \mathbb {R} , \ P ( E ) \geq 0\qquad \forall E\subseteq F}
• اگر F {\displaystyle F} فضای نمونه باشد آنگاه P ( F ) = 1 {\displaystyle P ( F ) =1}
• اگر E1 و E2 و . . . پیشامدهایی ناسازگار شمارش پذیر از فضای نمونه F {\displaystyle F} باشند آنگاه P ( E 1 ∪ E 2 ∪ ⋯ ) = ∑ i = 1 ∞ P ( E i ) . {\displaystyle P ( E_{1}\cup E_{2}\cup \cdots ) =\sum _{i=1}^{\infty }P ( E_{i} ) . }
حال با استفاده از این سه اصل به استخراج نتایجی می پردازیم.
گزاره: اگر A ⊆ B آنگاه P ( A ) ≤ P ( B )
اثبات: چون A ⊆ B است پس می توان B را به صورت B = A ∪ ( A ′ ∩ B ) نوشت و چون این دو پیشامد ناسازگار هستند بنا بر اصل 3 داریم:
و بنا بر اصل 1 چون P ( A ′ ∩ B ) ≥ 0 نتیجه به دست می آید ( منظور از A ′ متمم A است ) .
گزاره: اگر F فضای نمونه و ∅ نشان دهنده پیشامد تهی باشد آنگاه
اثبات: می دانیم F ∪ ∅ = F و دو پیشامد ناسازگار هستند پس بنا بر اصل 2و 3 داریم
گزاره: اگر A پیشامدی از فضای نمونه F باشد آنگاه داریم
اثبات:
گزاره:اگر A پیشامدی از فضای نمونه F و A ′ متمم پیشامد A باشد آنگاه
گزاره: اگر A و B دو پیشامد از فضای نمونه F باشد آنگاه
با استفاده از نتایج به دست آمده در دو سطر بالا داریم
حکم ثابت می شود[ ۱] [ ۲] .
wiki: اصول احتمال