استقلال خطی

در جبر خطی، زیرمجموعه ای از بردارهای یک فضای برداری V مانند B = { v 1 , ⋯ , v n } را وابستهٔ خطی گویند هر گاه یکی از بردارها در اسپن بقیه بردارها موجود باشد v n ∈ Span ⁡ { v 1 , ⋯ , v n − 1 } . به عبارتی دیگر ( طبق تعریف اسپن ) یکی از بردارها را بتوان به صورت ترکیب خطی بردارهای دیگر بیان کرد v n = c 1 v 1 + ⋯ + c n − 1 v n − 1 . [ ۱]
اگر B وابستهٔ خطی نباشد می گوییم این بردارها استقلال خطی ( به انگلیسی: Linear Independence ) دارند یا مستقل خطی هستند.
مجموعهٔ B را مستقل خطی می نامیم اگر تنها جواب معادلهٔ c 1 v 1 + ⋯ + c n v n = 0 جواب بدیهی c 1 = ⋯ = c n = 0 باشد. [ ۲]
در غیر این صورت به این مجموعه وابسته خطی می گوییم. [ ۳] به عبارتی دیگر اگر معادلهٔ c 1 v 1 + ⋯ + c n v n = 0 یک جواب غیربدیهی ∃ c i ≠ 0 داشته باشد وابسته خطی است. در این صورت به معادلهٔ مذکور رابطهٔ وابستگی خطی می گوییم. [ ۲] از این رابطه می توان هر بردار را بر حسب بردارهای دیگر به دست آورد: v n = ( c 1 v 1 + ⋯ + c n − 1 v n − 1 ) / c n
از این رابطه نتیجه می گیریم یکی از بردارها در اسپن بقیه بردارها وجود دارد: v n ∈ Span ⁡ { v 1 , ⋯ , v n − 1 } یا v n ∈ Span ⁡ ( B ∖ { v n } )
یک مجموعهٔ یک عضوی بردار B = { v } را مستقل خطی می گوییم اگر و تنها اگر ناصفر باشد v ≠ 0 .
یک مجموعهٔ دوعضوی بردارها B = { v 1 , v 2 } را مستقل خطی می گوییم اگر و تنها اگر مضرب یکدیگر نباشند v 1 ≠ c v 2 .
هر مجموعه ای شامل بردار صفر 0 ∈ B وابستهٔ خطی است.
مجموعهٔ بردارهای B = { v 1 , ⋯ , v n } با بیش از یک عضو وابستهٔ خطی است اگر و تنها اگر اندیسی مانند k وجود داشته باشد که بردار v k با آن اندیس را بتوان به صورت ترکیب خطی v k = c 1 v 1 + ⋯ + c k − 1 v k − 1 از بردارهای با اندیس قبل از آن بیان کرد v k ∈ Span ⁡ { v 1 , ⋯ , v k − 1 } . [ ۲]
طبق تعریف مذکور اگر فضای برداری را مجموعهٔ تمام توابع فرض کنیم به تعریف استقلال خطی توابع می رسیم:
اگر بتوان مجموعهٔ ضرایبی مانند { b 1 , b 2 , ⋯ , b n } ≠ { 0 } برای مجموعهٔ توابع F = { f 1 ( x ) , ⋯ , f n ( x ) } پیدا کرد که b 1 f 1 + b 2 f 2 + ⋯ + b n f n = 0 باشد ( در یک دامنهٔ مشترک و پیوسته از آنها ) در آن صورت مجموعهٔ توابع F = { f 1 ( x ) , ⋯ , f n ( x ) } مستقل خطی نیستند. در غیر این صورت F را مستقل خطی می نامیم. [ ۴]