استقرای ریاضی
فرهنگستان زبان و ادب
دانشنامه عمومی
استقرای ریاضی[ ۳] ( به انگلیسی: Mathematical induction ) شیوه ای برای اثبات قضایای ریاضی راجع به اعداد طبیعی است. این شیوه ( استقرای ساده ) از دو مرحله تشکیل شده است. در مرحلۀ اول، درستی قضیۀ P ( n ) برای عددی پایه به اثبات می رسد. اکنون می دانیم که حداقل برای شماری از اولین اعداد طبیعی P ( n ) درست است. اکنون با این فرض که P ( k ) برای حکم درست باشد، درستی P ( k + 1 ) را نتیجه می گیریم. این روش اثبات، برای اولین بار توسط اقلیدس معرفی شده بود. [ ۴]
در یونان باستان مثال های منطقی ای از استقرا را می توان دید، ولی اولین کاربرد ریاضی استقرا در حدود ۱۰۰۰ میلادی توسط ابوبکر کرجی هنگام کار بر روی بسط دو جمله ای یافته می شود. [ ۵]
استقرای ریاضی بیان می کند که اگر P ( x ) به معنای درستی ویژگی P برای عدد x باشد، برای اینکه P ( x ) برای همهٔ اعداد طبیعی درست باشد، باید:[ ۶]
• P ( 1 ) {\displaystyle P ( 1 ) } درست باشد.
• با این فرض که P ( k ) {\displaystyle P ( k ) } درست است، بتوان ثابت کرد که P ( k + 1 ) {\displaystyle P ( k+1 ) } نیز درست است.
به این ترتیب با ترکیب شرط ۱ و ۲ ( در حالت ویژه k = 1 ) می توان گفت که P ( 2 ) هم درست است، در نتیجه بنابر شرط ۲ ( در حالت ویژه k = 2 ) ، P ( 3 ) هم درست است. روشن است که با تکرار چندبارهٔ این کردارها می توان ویژگی P را برای هر عددی ثابت کرد، از این رو P ( k ) برای همهٔ اعداد k درست است. [ ۷]
فرمول ساده و کاربردی ای که برای محاسبهٔ n عدد اول طبیعی است را می توان با استقرای ریاضی ثابت کرد. 1 + 2 + 3 + ⋯ + n = n ( n + 1 ) 2
برای اثبات این فرمول، اول باید توجه کرد که فرمول برای n = 1 درست است ( 1 ( 1 + 1 ) 2 = 1 ) . سپس فرض می شود که فرمول برای n = k درست باشد:[ ۸] 1 + 2 + 3 + ⋯ + k = k ( k + 1 ) 2 آنگاه: 1 + 2 + 3 + ⋯ + k + ( k + 1 ) = k ( k + 1 ) 2 + ( k + 1 ) , = k ( k + 1 ) + 2 ( k + 1 ) 2 , = k 2 + 3 k + 2 2 , = ( k + 1 ) ( k + 2 ) 2 , ( تجزیهٔ دوجمله ای صورت ) بنابراین، فرمول برای n = k + 1 درست می باشد. بنابر استقرای ریاضی، این امر نشان دهندهٔ این است که فرمول بالا برای هر کدام از اعداد طبیعی درست است. [ ۹]
این نوشته برگرفته از سایت ویکی پدیا می باشد، اگر نادرست یا توهین آمیز است، لطفا گزارش دهید: گزارش تخلفدر یونان باستان مثال های منطقی ای از استقرا را می توان دید، ولی اولین کاربرد ریاضی استقرا در حدود ۱۰۰۰ میلادی توسط ابوبکر کرجی هنگام کار بر روی بسط دو جمله ای یافته می شود. [ ۵]
استقرای ریاضی بیان می کند که اگر P ( x ) به معنای درستی ویژگی P برای عدد x باشد، برای اینکه P ( x ) برای همهٔ اعداد طبیعی درست باشد، باید:[ ۶]
• P ( 1 ) {\displaystyle P ( 1 ) } درست باشد.
• با این فرض که P ( k ) {\displaystyle P ( k ) } درست است، بتوان ثابت کرد که P ( k + 1 ) {\displaystyle P ( k+1 ) } نیز درست است.
به این ترتیب با ترکیب شرط ۱ و ۲ ( در حالت ویژه k = 1 ) می توان گفت که P ( 2 ) هم درست است، در نتیجه بنابر شرط ۲ ( در حالت ویژه k = 2 ) ، P ( 3 ) هم درست است. روشن است که با تکرار چندبارهٔ این کردارها می توان ویژگی P را برای هر عددی ثابت کرد، از این رو P ( k ) برای همهٔ اعداد k درست است. [ ۷]
فرمول ساده و کاربردی ای که برای محاسبهٔ n عدد اول طبیعی است را می توان با استقرای ریاضی ثابت کرد. 1 + 2 + 3 + ⋯ + n = n ( n + 1 ) 2
برای اثبات این فرمول، اول باید توجه کرد که فرمول برای n = 1 درست است ( 1 ( 1 + 1 ) 2 = 1 ) . سپس فرض می شود که فرمول برای n = k درست باشد:[ ۸] 1 + 2 + 3 + ⋯ + k = k ( k + 1 ) 2 آنگاه: 1 + 2 + 3 + ⋯ + k + ( k + 1 ) = k ( k + 1 ) 2 + ( k + 1 ) , = k ( k + 1 ) + 2 ( k + 1 ) 2 , = k 2 + 3 k + 2 2 , = ( k + 1 ) ( k + 2 ) 2 , ( تجزیهٔ دوجمله ای صورت ) بنابراین، فرمول برای n = k + 1 درست می باشد. بنابر استقرای ریاضی، این امر نشان دهندهٔ این است که فرمول بالا برای هر کدام از اعداد طبیعی درست است. [ ۹]
wiki: استقرای ریاضی
دانشنامه آزاد فارسی
اِستِقرایِ ریاضی (mathematical induction)
یکی از روش های رسمی اثبات در ریاضیات، برای اثبات حکم هایی دربارۀ متغیر صحیح مثبت. اگر این متغیر را با n و حکم را با ( p(n نمایش دهیم، مراحل استقرای ریاضی از این قرار است: (۱) ثابت می کنند ( p(n به ازای عددی چون n = k درست است؛ (۲) ثابت می کنند که اگر ( p(n به ازای n، یا n و همۀ اعداد بین k و n، درست باشد، به ازایn + ۱ نیز درست است؛ (۳) آن گاه با استقرا نتیجه می گیرند که (p(n به ازای هر n یعنیn=k, k+۱, k+۲, k+۳, ... درست است. در بسیاری از موارد، k برابر ۱ در نظر گرفته می شود و در این صورت، درستی( p(n به ازای همۀ اعداد صحیح مثبت ثابت می شود.
یکی از روش های رسمی اثبات در ریاضیات، برای اثبات حکم هایی دربارۀ متغیر صحیح مثبت. اگر این متغیر را با n و حکم را با ( p(n نمایش دهیم، مراحل استقرای ریاضی از این قرار است: (۱) ثابت می کنند ( p(n به ازای عددی چون n = k درست است؛ (۲) ثابت می کنند که اگر ( p(n به ازای n، یا n و همۀ اعداد بین k و n، درست باشد، به ازایn + ۱ نیز درست است؛ (۳) آن گاه با استقرا نتیجه می گیرند که (p(n به ازای هر n یعنیn=k, k+۱, k+۲, k+۳, ... درست است. در بسیاری از موارد، k برابر ۱ در نظر گرفته می شود و در این صورت، درستی( p(n به ازای همۀ اعداد صحیح مثبت ثابت می شود.
wikijoo: استقرای_ریاضی
پیشنهاد کاربران
پیشنهادی ثبت نشده است. شما اولین نفر باشید