اصل اکسترمال

ریاضی دان ورزیده مجهز به یک سری اصول و فنون با دامنه کاربرد وسیع ساده می باشد که می تواند از آن ها در حالت های مختلف استفاده نماید. این اصول و فنون وابسته به موضوعی ویژه نبوده و در کلیه شاخه های ریاضی قابلیت استفاده را دارند. ریاضی دان به این اصول فکر نمی کند بلکه به طور ناخودآگاه از آن مطلع می باشد. یکی از این اصول اصل ناوردایی است؛ و اما اصل اکسترمال زمانی که بحث دربارهٔ تبدیلات است استفاده می شود. در این مقاله به بحث دربارهٔ اصل اکسترمال خواهیم پرداخت که دارای کاربردهای پردامنه ای می باشد. به این اصل روش متغیر هم گفته می شود. با این روش می توان به اثبات های بسیار آسان دست یافت.
ابتدا سعی می کنیم وجود یک حالت را به اثبات برسانیم. اصل اکسترمم به ما می گوید که با انتخاب این حالت سعی کنید برخی حالت های ماکزیمم و مینیمم آن را بررسی کنید. حالت حاصل نشان دهنده تقریبی وضعیت خواسته شده است هر چند کاملاً با آن منطبق نمی نماید. با کمی تغییر روی توابع به حالت اصلی می توان رسید.
اگر راه های مختلفی برای بهینه سازی وجود داشته باشد انتخاب یکی از آن ها بسته به نظر ما می باشد. اصل اکسترمال بسیار خلاق است و می تواند الگوریتم روش ساختن آن حالت را به ما نشان دهد. در اینجا برای تفهیم بیشتر موضوع مثالی می آوریم. اما در ابتدا به ۳ اصل معروف می پردازیم.
• الف: هر مجموعه کراندار نامشخصی مثل A از اعداد صحیح یا حقیقی دارای یک عنصر می نیمال A {\displaystyle A} و یک عنصر ماکسیمال A {\displaystyle A} دارد که ضرورتاً یکتا نمی باشند.
• ب :هر زیر مجموعه غیر تهی از اعداد صحیح مثبت دارای کوچکترین عضو است. این را اصل خوش ترتیبی می نامند و هم ارز با اصل استقرای ریاضی است.
• ج: مجموعه بی کران A {\displaystyle A} از اعداد حقیقی ضرورتاً دارا عضو ماکسیمال یا مینیمال نیست. اگر A {\displaystyle A} از بالا کراندار باشد، آنگاه دارای کوچکترین کران بالاست که آن را سوپریموم A {\displaystyle A} می نامیم. اگر A {\displaystyle A} از پایین کراندار باشد دارای بزرگترین کران پایین است و آن را اینفیموم A {\displaystyle A} می نامیم.
اگر S U P A ∈ A باشد آنگاه S U P ( A ) = m a x A و اگر i n f A ∈ A آنگاه i n f ( A ) = m i n A .
مثال ۱  : n خط حداکثر یک صفحه را به چند بخش تقسیم می کند؟