در ریاضیات، بخصوص در شاخه ای از جبر مجرد به نام نظریه گالوا، گروه گالوا برای نوع خاصی از توسیع های میدانی تعریف می شود. مطالعهٔ توسیع های میدانی و روابطشان با چند جمله ای هایی که منجر به تولیدشان می شود را نظریه گالوا می گویند. این اسم به افتخار اواریسته گالوا که ابتدا آن را کشف کرد، نامگذاری شده است.
فرض کنید E توسیعی از میدان F باشد ( به صورت E / F نوشته شده و به صورت " E بر روی F " خوانده می شود ) . اتومورفیسم E / F به صورت اتومورفیسم E که F را نقطه وار ثابت نگه می دارد تعریف می شود. به زبان دیگر، یک اتومورفیسم از E / F ایزومورفیسمی چون α از E به E است چنان که برای تمام x ∈ F ها داریم α ( x ) = x . مجموعه تمام اتومورفیسم های E / F تشکیل گروهی می دهند که عمل دوتایی آن ترکیب توابع است. این گروه را برخی مواقع به صورت A u t ( E / F ) می نویسند.
اگر E / F یک توسیع گالوا باشد آنگاه به A u t ( E / F ) گروه گالوای ( توسیع ) E بر روی F گویند و اغلب آن را با G a l ( E / F ) نمایش می دهند. [ ۱]
اگر E / F توسیع گالوا نباشد، آنگاه گروه گالوای ( توسیع ) E روی F را برخی مواقع به صورت A u t ( G / F ) تعریف می کنند که در آن G بستار گالوای E می باشد.
در مثال های پایین F یک میدان است و C ، Q ، R به ترتیب میدان اعداد مختلط، حقیقی و گویا هستند. نماد F ( a ) بیانگر توسیع میدانیست که از الحاق a به میدان F بدست آمده است.
• G a l ( F / F ) {\displaystyle Gal ( F/F ) } گروه بدیهی تک عضویست، به آن خودریختی همانی گویند.
• G a l ( C / R ) {\displaystyle Gal ( \mathbb {C/R} ) } دو عنصر دارد، خودریختی همانی و خودریختی مزدوج مختلط. [ ۲]
• A u t ( R / Q ) {\displaystyle Aut ( \mathbb {R/Q} ) } بدیهیست. می توان نشان داد که هر خود ریختی از R {\displaystyle \mathbb {R} } باید ترتیب اعداد حقیقی را حفظ کرده و لذا باید همانی باشد.
• A u t ( C / Q ) {\displaystyle Aut ( \mathbb {C/Q} ) } یک گروه بی نهایت عضویست.
• G a l ( Q ( 2 ) / Q ) {\displaystyle Gal ( \mathbb {Q} ( {\sqrt {2}} ) /\mathbb {Q} ) } دو عضو دارد، خودریختی همانی و خودریختی که + 2 {\displaystyle +{\sqrt {2}}} و − 2 {\displaystyle - {\sqrt {2}}} را با هم تعویض می کند.
• میدان Q ( 2 3 ) {\displaystyle \mathbb {Q} ( {\sqrt{2}} ) } را در نظر بگیرید. گروه A u t ( K / Q ) {\displaystyle Aut ( K/\mathbb {Q} ) } تنها شامل خودریختی همانیست. علتش آن است که K {\displaystyle K} یک توسیع نرمال نبوده، لذا چون دو ریشه سوم مختلط 2 در توسیع وجود ندارد، K {\displaystyle K} یک میدان شکافنده نخواهد بود.
• اکنون L = Q ( 2 3 , ω ) {\displaystyle L=\mathbb {Q} ( {\sqrt{2}}, \omega ) } را در نظر بگیرید که در آن ω {\displaystyle \omega } ریشه سوم واحد است. گروه G a l ( L / Q ) {\displaystyle Gal ( L/\mathbb {Q} ) } یک ریخت با S 3 {\displaystyle S_{3}} است و L {\displaystyle L} در حقیقت میدان شکافنده ی x 3 − 2 {\displaystyle x^{3} - 2} بر روی Q {\displaystyle \mathbb {Q} } می باشد.
• اگر q {\displaystyle q} توانی از عددی اول باشد و F = G F ( q ) {\displaystyle F=\mathbf {GF} ( q ) } و E = G F ( q n ) {\displaystyle E=\mathbf {GF} ( q^{n} ) } به ترتیب میدان های گالوا از مرتبه q {\displaystyle q} و q n {\displaystyle q^{n}} باشند، آنگاه G a l ( E / F ) {\displaystyle Gal ( E/F ) } دوری از مرتبه n {\displaystyle n} بوده و توسط هم ریختی فروبنیوس تولید شده است.
• اگر f {\displaystyle f} یک چندجمله ای تحویل ناپذیر از درجه p {\displaystyle p} با ضرایب گویا باشد و دقیقا دو ریشه غیر حقیقی داشته باشد، آنگاه گروه گالوای f {\displaystyle f} به صورت گروه تقارنی کامل S p {\displaystyle S_{p}} خواهد بود.
این نوشته برگرفته از سایت ویکی پدیا می باشد، اگر نادرست یا توهین آمیز است، لطفا گزارش دهید: گزارش تخلففرض کنید E توسیعی از میدان F باشد ( به صورت E / F نوشته شده و به صورت " E بر روی F " خوانده می شود ) . اتومورفیسم E / F به صورت اتومورفیسم E که F را نقطه وار ثابت نگه می دارد تعریف می شود. به زبان دیگر، یک اتومورفیسم از E / F ایزومورفیسمی چون α از E به E است چنان که برای تمام x ∈ F ها داریم α ( x ) = x . مجموعه تمام اتومورفیسم های E / F تشکیل گروهی می دهند که عمل دوتایی آن ترکیب توابع است. این گروه را برخی مواقع به صورت A u t ( E / F ) می نویسند.
اگر E / F یک توسیع گالوا باشد آنگاه به A u t ( E / F ) گروه گالوای ( توسیع ) E بر روی F گویند و اغلب آن را با G a l ( E / F ) نمایش می دهند. [ ۱]
اگر E / F توسیع گالوا نباشد، آنگاه گروه گالوای ( توسیع ) E روی F را برخی مواقع به صورت A u t ( G / F ) تعریف می کنند که در آن G بستار گالوای E می باشد.
در مثال های پایین F یک میدان است و C ، Q ، R به ترتیب میدان اعداد مختلط، حقیقی و گویا هستند. نماد F ( a ) بیانگر توسیع میدانیست که از الحاق a به میدان F بدست آمده است.
• G a l ( F / F ) {\displaystyle Gal ( F/F ) } گروه بدیهی تک عضویست، به آن خودریختی همانی گویند.
• G a l ( C / R ) {\displaystyle Gal ( \mathbb {C/R} ) } دو عنصر دارد، خودریختی همانی و خودریختی مزدوج مختلط. [ ۲]
• A u t ( R / Q ) {\displaystyle Aut ( \mathbb {R/Q} ) } بدیهیست. می توان نشان داد که هر خود ریختی از R {\displaystyle \mathbb {R} } باید ترتیب اعداد حقیقی را حفظ کرده و لذا باید همانی باشد.
• A u t ( C / Q ) {\displaystyle Aut ( \mathbb {C/Q} ) } یک گروه بی نهایت عضویست.
• G a l ( Q ( 2 ) / Q ) {\displaystyle Gal ( \mathbb {Q} ( {\sqrt {2}} ) /\mathbb {Q} ) } دو عضو دارد، خودریختی همانی و خودریختی که + 2 {\displaystyle +{\sqrt {2}}} و − 2 {\displaystyle - {\sqrt {2}}} را با هم تعویض می کند.
• میدان Q ( 2 3 ) {\displaystyle \mathbb {Q} ( {\sqrt{2}} ) } را در نظر بگیرید. گروه A u t ( K / Q ) {\displaystyle Aut ( K/\mathbb {Q} ) } تنها شامل خودریختی همانیست. علتش آن است که K {\displaystyle K} یک توسیع نرمال نبوده، لذا چون دو ریشه سوم مختلط 2 در توسیع وجود ندارد، K {\displaystyle K} یک میدان شکافنده نخواهد بود.
• اکنون L = Q ( 2 3 , ω ) {\displaystyle L=\mathbb {Q} ( {\sqrt{2}}, \omega ) } را در نظر بگیرید که در آن ω {\displaystyle \omega } ریشه سوم واحد است. گروه G a l ( L / Q ) {\displaystyle Gal ( L/\mathbb {Q} ) } یک ریخت با S 3 {\displaystyle S_{3}} است و L {\displaystyle L} در حقیقت میدان شکافنده ی x 3 − 2 {\displaystyle x^{3} - 2} بر روی Q {\displaystyle \mathbb {Q} } می باشد.
• اگر q {\displaystyle q} توانی از عددی اول باشد و F = G F ( q ) {\displaystyle F=\mathbf {GF} ( q ) } و E = G F ( q n ) {\displaystyle E=\mathbf {GF} ( q^{n} ) } به ترتیب میدان های گالوا از مرتبه q {\displaystyle q} و q n {\displaystyle q^{n}} باشند، آنگاه G a l ( E / F ) {\displaystyle Gal ( E/F ) } دوری از مرتبه n {\displaystyle n} بوده و توسط هم ریختی فروبنیوس تولید شده است.
• اگر f {\displaystyle f} یک چندجمله ای تحویل ناپذیر از درجه p {\displaystyle p} با ضرایب گویا باشد و دقیقا دو ریشه غیر حقیقی داشته باشد، آنگاه گروه گالوای f {\displaystyle f} به صورت گروه تقارنی کامل S p {\displaystyle S_{p}} خواهد بود.
wiki: گروه گالوا